Cześć!
Analiza tego, co wiemy:
Wiemy, że istnieją sobie gdzieś w wszechświecie dwie funkcje i mają one następujące wzory: [tex]f(x)=a^x[/tex] i [tex]g(x)=\sqrt{3}[/tex]. Wiemy również, że te dwie, magiczne funkcje, przecinają się w pewnym punkcie A. Musimy sobie ustalić dla porządku i zgody oznaczeń, jak ten punkt A wygląda - uznajmy, że ma on współrzędne [tex]A=(c;d)[/tex]. Poza punktem A, jest też punkt B, który ma współrzędne [tex]B=(4;0)[/tex]. Naszym zadaniem jest znalezienie wartości [tex]a[/tex], aby spełnione było pewne kryterium: odcinki [tex]OA[/tex], gdzie [tex]O=(0;0)[/tex] i [tex]AB[/tex] muszą być prostopadłe.
Od czego zaczynamy? Skoro [tex]A=(c;d)[/tex] jest punktem wspólnym tych wykresów, to na pewno jest rozwiązaniem układu równań:
[tex]\left \{ {{y=a^x} \atop {y=\sqrt{3}} \right.[/tex]
Wiedząc, że współrzędna 'c' to tzw. współrzędna iksowa, a współrzędna 'd' to tzw. współrzędna igrekowa, podstawmy nasze zmienne:
[tex]\left \{ {{d=a^c} \atop {d=\sqrt{3}}} \right.[/tex]
Stąd otrzymujemy drugą współrzędną punktu A, ponieważ jak na tacy układ pokazuje nam, że [tex]d=\sqrt{3}[/tex], zatem [tex]A=(c;d)=(c;\sqrt{3})[/tex]. Jeżeli chodzi o pierwsze równanie, możemy również podstawić naszą wartość d i otrzymać: [tex]\sqrt{3}=a^c[/tex].
Co dalej? Możemy kombinować z tymi odcinkami. Chcemy doprowadzić do sytuacji, w której OA i AB są prostopadłe. My użyjemy w tym celu rachunku wektorowego. Stąd konsekwentnie mamy następujące wektory: [tex]\vec{AB}[/tex] i [tex]\vec{OA}[/tex]. My jesteśmy w stanie podać współrzędne tych wektorów na podstawie punktów:
[tex]A=(c;\sqrt{3})\\B=(4;0)\\O=(0;0)[/tex]
Wówczas wektory mają postać (wzór szczegółowo omówiłem na dole rozwiązania):
[tex]\vec{AB} = [4-c;-\sqrt{3}]\\\\\vec{OA} = [c;\sqrt{3}][/tex]
Korzystamy z warunku prostopadłości wektorów (omówiony na dole rozwiązania):
[tex]\vec{AB} \perp \vec{OA} \iff (4-c)\cdot c + (-\sqrt{3})\cdot (\sqrt{3}) = 0[/tex]
Rozwiązujemy powyższe równanie kwadratowe:
[tex]4c-c^2+(-3) = 0 \ |\cdot (-1)\\\\c^2-4c+3=0\\\\\Delta = (-4)^2-4\cdot 1 \cdot 3 = 16-12 = 4\\\\\sqrt{\Delta} = \sqrt{4} = 2[/tex]
[tex]\Delta >0[/tex], zatem równanie ma dwa rozwiązania:
[tex]c_1 = \frac{-(-4)-2}{2\cdot 1} = \frac{4-2}{2} = \frac{2}{2} = 1\\\\c_2 = \frac{-(-4)+2}{2\cdot 1} = \frac{4+2}{2} = \frac{6}{2} = 3\\[/tex]
Na tej podstawie stwierdzamy, że punkt [tex]A[/tex] może mieć dwie różne współrzędne iksowe, zatem musimy rozpatrzeć oba przypadki:
Przypadek I. (gdy [tex]A=(c_1;d) = (1;\sqrt{3})[/tex])
Wstawiamy współrzędne punktu A do pierwszego równania w układzie równań ([tex]d=a^c[/tex]):
[tex]\sqrt{3} = a^1 \Longrightarrow a = \sqrt{3}[/tex]
Przypadek II. (gdy [tex]A=(c_2;d) = (3;\sqrt{3})[/tex])
Ponownie wstawiamy współrzędne punktu A do pierwszego równania w układzie równań ([tex]d=a^c[/tex]):
[tex]\sqrt{3} = a^3 \Longrightarrow a = \sqrt[3]{\sqrt{3}} \Longrightarrow a = \sqrt[2\cdot3]{3} \Longrightarrow a=\sqrt[6]{3}[/tex]
Odpowiedź:
Warunki zadania spełniają tylko wartości [tex]a \in \{\sqrt[6]{3};\sqrt{3}\}[/tex].
Potrzebne wzory:
- Dla dwóch punktów o współrzędnych [tex]A=(x_1;y_1)[/tex] i [tex]B=(x_2;y_2)[/tex] tworzących wektor, współrzędne [tex]\vec{AB}[/tex] wyznaczamy się jako: [tex]\vec{AB} = [x_2-x_1; y_2-y_1][/tex]
- Dwa niezerowe wektory [tex]A=[x_1;y_1][/tex] i [tex]B=[x_2;y_2][/tex] są prostopadłe wtedy, gdy [tex]x_1\cdot x_2 + y_1\cdot y_2 = 0[/tex]
Pozdrawiam serdecznie!
