Ciąg można ograniczyć z dwóch stron
[tex]\sqrt[n]{7-1}\leq\sqrt[n]{7+\sin{n}}\leq\sqrt[n]{7+1}\\\sqrt[n]{6}\leq\sqrt[n]{7+\sin n}\leq\sqrt[n]{8}[/tex]
gdzie wykorzystałem to, że funkcja sinus przyjmuje wartości z przedziału:
[tex]\sin n\in\langle -1;1\rangle[/tex]
Teraz zastosowanie ma twierdzenie o trzech ciągach
Jeżeli istnieją takie ciągi rzeczywiste bₙ oraz cₙ, że
[tex]b_n\leq a_n\leq c_n[/tex]
[przy czym nierówności te nie muszę być spełnione dla wszystkich n (wystarczy, że będzie to prawda dla pewnego n>m).]
Oraz istnieje wspólna granica:
[tex]\lim_{n\to\infty}b_n=\lim_{n\to\infty}c_n=p[/tex]
to z tego wynika, że:
[tex]\lim_{n\to\infty}{a_n}=p[/tex]
W naszym wypadku obydwa skrajne ciągi dążą do 1:
[tex]\lim_{n\to\infty}{6^{1/n}}=6^0=1\\\lim_{n\to\infty}{8^{1/n}}=8^0=1[/tex]
zatem i nasz ciąg dąży do 1
[tex]\lim_{n\to\infty}{\sqrt[n]{7+\sin{n}}}=1[/tex]
pozdrawiam
