ZAGADKA
Wprowadzamy oznaczenia:
- M - mózg
- R - rakieta
- K - kciuk
- P - palce
Zakładamy, że:
- [tex]M\in N,~~R\in N,~~K\in N, ~~P\in N~~oraz~~M\neq R\neq K \neq P[/tex]
Korzystamy ze wzorów:
- [tex]x^{n} \cdot x^{m} =x^{n+m}[/tex]
- [tex](x^{n} )^{m} =x^{n\cdot m}[/tex]
- [tex]\dfrac{x^{n} }{x^{m} } =x^{n} \div x^{m} =x^{n-m}[/tex]
Otrzymujemy równanie:
[tex]\dfrac{M^{3} +R^{6} \cdot R }{P\div (P^{2} )^{2} +K} =31\\\\\\\dfrac{M^{3} +R^{6+1} }{P\div P^{4} +K} =31\\\\\\\dfrac{M^{3} +R^{7} }{ P^{-3} +K} =31,~~zal.~~P^{-3} +K\neq 0[/tex]
[tex]\boxed{M^{3} +R^{7} =n\cdot 31}[/tex] - licznik to wielokrotność liczby 31
[tex]\boxed{P^{-3} +K=n}[/tex] - mianownik
Wtedy: [tex]\boxed{\dfrac{licznik}{mianownik } =\dfrac{n\cdot 31}{n} =31}[/tex]
Obliczamy:
I. [tex]mianownik =P^{-3} +K[/tex]
[tex]P^{-3}[/tex] - liczba naturalna ⇔ gdy [tex]P=1[/tex] ⇒ [tex]P^{-3} ~~\land~~P=1[/tex] ⇒ [tex]\boxed{P^{-3} =1}[/tex]
[tex]P^{-3} +K=1+K=n[/tex]
II. [tex]licznik = M^{3} +R^{7}=n\cdot 31[/tex]
- gdy n = 1 , wykluczam bo już P = 1
- gdy n = 2 , wykluczam bo n∈N ∧ P = 1
- gdy n = 3 , wykluczam bo n∈N ∧ P = 1
- gdy n = 4 , wykluczam bo n∈N ∧ P = 1 ∧ M ≠ R
- gdy n = 5 , rozpatrujemy dwa przypadki
Jeśli:
- M = 2 ∧ R =3 ⇒ 2³ + 3⁷ = 2195 ⇒ liczba 2 195 nie dzieli się bez reszty przez 31 ⇒ wykluczamy bo n ∈ N
- M = 3 ∧ R =2 ⇒ 3³ + 2⁷ = 155 ⇒ liczba 155 dzieli się bez reszty przez 31 ⇒ 155 = 5 × 31 ⇒ n = 5
Wiemy, że: [tex]P^{-3} +K=1+K=n~~\land~~n=5~~\Rightarrow~~K=4[/tex].
Mamy obliczone szukane wartości:
[tex]\boxed{P=1,~~K=4,~~M=3,~~R=2}[/tex]
Sprawdzamy, podstawiając do równania:
[tex]\dfrac{M^{3} +R^{6} \cdot R }{P\div (P^{2} )^{2} +K} =31\\\\\\L=\dfrac{3^{3} +2^{6} \cdot 2 }{1\div (1^{2} )^{2} +4} =\dfrac{27+128}{1+4} =\dfrac{155}{5} =\dfrac{5\cdot 31}{5} =31\\\\P=31\\\\L=P~~~~cbdu[/tex]
