Elektrony oddziałują ze sobą kulombowsko, czyli mamy potencjał oddziaływania:
[tex]V_C=\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0|x_2-x_1|}[/tex]
oczywiście zależy od od wzajemnej odległości elektronów. Z drogiej strony elektrony są w pułapce harmonicznej:
[tex]V_H=\frac{1}{2}px_1^2+\frac{1}{2}px_2^2[/tex]
i tu ich położenia są niezależne.
Funkcjonał energii można zatem zapisać jako:
[tex]E[x_1,x_2]=\frac{1}{2}p(x_1^2+x_2^2)+\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{|x_2-x_1|}[/tex]
Położenie równowagowe oznacza minimalizację energii, wprowadzę dodatkowo oznaczenia:
[tex]\alpha=\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0}[/tex]
oraz założę:
[tex]x_2>x_1[/tex]
[tex]\frac{\partial E}{\partial x_1}=px_1+\frac{\alpha}{(x_2-x_1)^2}=0\\\frac{\partial E}{\partial x_2}=px_2-\frac{\alpha}{(x_2-x_1)^2}=0[/tex]
żeby nie rozwiązywać tych równań osobno po prostu je dodam stronami
[tex]p(x_1+x_2)=0\Rightarrow x_1=-x_2[/tex]
oraz odejmę stronami
[tex]p(x_2-x_1)-\frac{2\alpha}{(x_2-x_1)^2}=0\\(x_2-x_1)^3=\frac{2\alpha}{p}\\8x_2^3=\frac{2\alpha}{p}\\x_2=\sqrt[3]{\frac{\alpha}{4p}}\\x_1=-\sqrt[3]{\frac{\alpha}{4p}}[/tex]
oczywiście p>0; dla p=0 wcale nie ma rozwiązań, zaś dla p<0 mamy sprzeczność z moim założeniem x_2>x_1, które oczywiście można zamienić na x_1>x_2, co zamieni rozwiązania, ale nie wpływa na warunek p>0
Alternatywny rozwiązanie odwołuje się do warunku zerowej siły (siła to
F=-grad V )
[tex]-px_1+F_{21}=0\\-px_2+F_{12}=0[/tex]
gdzie F_{ij} jest siłą z jaką elektron i-ty działa na elektron j-ty. Z warunku wzajemności oddziaływań wynika, że:
[tex]F_{12}=-F_{21}[/tex]
naturalnie można jawnie zapisać siłę Coulomba
[tex]F_{21}=-F_{12}=\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0(x_2-x_1)^2}[/tex]
ale nie jest to na tym etapie potrzebne. Ponownie, dodając równania stronami
[tex]-p(x_1+x_2)=0\\x_1=-x_2[/tex]
zaś odejmując:
[tex]\frac{2\alpha}{x_2-x_1}-p(x_2-x_1)=0\\(x_2-x_1)^3=\frac{2\alpha}{p}[/tex]
co sprowadza nas to tego samego wyniku.
pozdrawiam
