Odpowiedź
Jeżeli bok kwadratu oznaczymy przez a, to średnica D największego okręgu stycznego wewnętrznie do okręgu opisanego na kwadracie oraz do jednego z boków kwadratu wyraża się następującym wzorem
[tex]D = \dfrac {1 + \sqrt{2}} {2} \cdot a = \dfrac {1 + \sqrt{2}} {2} \cdot 6 \approx 7,24[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie
Rysunek, który załączyłam jest konieczny do zrozumienie przeprowadzonych obliczeń.
Jeżeli a jest długością boku kwadratu, to średnica AC okręgu opisanego na kwadracie, o środku w punkcie E, ma długość |AC| = a · √2 .
Jednocześnie jeśli skonstruować okręgi
- o środku F oraz średnicy KG (najmniejszy z okręgów stycznych wewnętrznie do okręgu opisanego na kwadracie oraz do jednego z boków kwadratu), gdzie K oraz G są punktami styczności,
- o środku J oraz średnicy GL (największy z okręgów stycznych wewnętrznie do okręgu opisanego na kwadracie oraz do jednego z boków kwadratu), gdzie G oraz L są punktami styczności,
to widać, że suma średnic tych okręgów jest równa średnicy AC okręgu opisanego na kwadracie.
Czyli
|KG| + |GL| = |AC|
|KG| + D = a · √2
Ponieważ odcinek EK ( |EK| = |AC| / 2 = a · √2 / 2 ) jest promieniem okręgu opisanego, to mamy zależność
|KG| + |EG| = |EK|
|KG| + a/2 = a · √2 / 2
Aby obliczyć średnicę D rozwiązujemy następujący układ równań
[tex]\displaystyle \left \{ {{|KG| + D = a \cdot \sqrt 2} \atop {|KG| + \dfrac a 2 = a \cdot \dfrac {\sqrt 2} 2}} \right.[/tex]
Po odjęciu drugiego równania od pierwszego otrzymujemy
[tex]\displaystyle D - \dfrac a 2= a \cdot \dfrac {\sqrt 2} {2}[/tex]
zatem
[tex]\displaystyle D = a \cdot \dfrac {\sqrt 2} {2} + \dfrac a 2 = \boxed { \:\:\: \dfrac {1 + \sqrt{2}} {2} \cdot a \:\:\: }[/tex]
