Rozwiązanie:
Ustalmy:
[tex]f(x)=log_{4}(\frac{\pi}{6}-arcsin\frac{4x-1}{x} )[/tex]
Dziedzina:
[tex]1[/tex]°
[tex]-1\leq \frac{4x-1}{x} \leq 1[/tex]
[tex]2[/tex]°
[tex]\frac{\pi}{6} -arcsin\frac{4x-1}{x} >0[/tex]
Z pierwszego warunku mamy:
[tex]-1\leq \frac{4x-1}{x} \wedge \frac{4x-1}{x} \leq 1\\\frac{4x-1+x}{x}\geq 0 \wedge \frac{4x-1-x}{x} \leq 0\\\frac{5x-1}{x} \geq 0 \wedge \frac{3x-1}{x}\leq 0\\x(5x-1)\geq 0 \wedge x(3x-1)\leq 0\\x \in (-\infty,0> \cup <\frac{1}{5},\infty) \wedge x \in <0,\frac{1}{3} >\\x \in <\frac{1}{5},\frac{1}{3}>[/tex]
Z drugiego warunku mamy:
[tex]\frac{\pi}{6} -arcsin(\frac{4x-1}{x} )>0\\\frac{\pi}{6} >arcsin(\frac{4x-1}{x} )\\arcsin(\frac{1}{2})>arcsin(\frac{4x-1}{x} ) \iff \frac{1}{2}>\frac{4x-1}{x} \\1>\frac{8x-2}{x} \\\frac{8x-2-x}{x} <0\\\frac{7x-2}{x}<0\\x(7x-2)<0\\x \in (0,\frac{2}{7})[/tex]
Bierzemy iloczyn rozwiązań i otrzymujemy odpowiedź:
[tex]x \in <\frac{1}{5},\frac{2}{7})[/tex]
