Rozważmy na początek jedynie lewą stronę. Po pierwsze zauważmy, że jeśli za [tex]y[/tex] wstawimy [tex]-x[/tex] to otrzymamy
[tex]x^3-x^3-3x^3+3x^3+2x-2x=0[/tex]
Zatem można powiedzieć, że [tex]-x[/tex] jest pierwiastkiem wielomianu
[tex]w(y)=x^3 + y^3 + 3 x^2y + 3 y^2x + 2 x + 2 y[/tex]
z parametrem [tex]x[/tex]. A zatem wielomian ten dzieli się przez [tex]x+y[/tex]. Po wykonaniu pisemnego dzielenia lub po zgadnięciu dostajemy, że
[tex]x^3 + y^3 + 3 x^2y + 3 y^2x + 2 x + 2 y= (x+y) \left((x+y)^2+2\right)[/tex]
Podstawmy teraz pomocniczą zmienną [tex]t=x+y[/tex]. Mamy więc do rozwiązania równanie
[tex]t(2+t^2)=72[/tex]
Szkolnym sposobem sprawdzamy dzielniki wyrazu wolnego aż natrafiamy na pierwiastek [tex]t=4[/tex]. Okazuje się, że
[tex]t\left(t^2+2\right)-72=(t-4)(t^2+4t+18)[/tex]
zatem [tex]t=4[/tex] to jedyny pierwiastek. Z drugiego nawiasu nie ma zer. Czyli
[tex]x^3 + y^3 + 3 x^2y + 3 y^2x + 2 x + 2 y=72[/tex]
sprowadza się (jest równoważne z) do tego, że
[tex]x+y=4[/tex]
A to równanie w oczywisty sposób jest spełnione dla nieskończenie wielu liczb całkowitych przykładowo każda para [tex](x,y)=(n,4-n)[/tex] dla [tex]n\in\mathbb{Z}[/tex] jest rozwiązaniem. Poza tym jest też nieskończenie wiele par liczb niewymiernych wystarczy położyć [tex](x,y)=(\sqrt{2}+q, 4-\sqrt{2}-q )[/tex] dla [tex]q\in \mathbb{Q}.[/tex]
