Najpierw korzystając ze wzorów skróconego mnożenia "zwijamy" trójmiany kwadratowe pod pierwiastkami,
następnie korzystamy z własności: [tex]\sqrt{a^2}= |a|[/tex]
a na koniec na podstawie definicji wartości bezwzględnej opuszczamy ją i upraszczamy wyrażenie.
[tex]\sqrt{x^2}-\sqrt{x^2-2x+1}=\sqrt{x^2}-\sqrt{(x-1)^2}=|x|-|x-1|=[/tex]
dla x<0 oba wyrażenia w wartościach bezwzględnych są ujemne, czyli:
|x| = -x i |x - 1| = -x + 1
Zatem:
[tex]\sqrt{x^2}-\sqrt{x^2-2x+1}=\sqrt{x^2}-\sqrt{(x-1)^2}=|x|-|x-1|=\\\\=-x-(-x+1) = -x + x - 1 = \bold{- 1}[/tex]
[tex]\sqrt{x^2+10+25}-\sqrt{x^2-6x+9}=\sqrt{(x+5)^2}-\sqrt{(x-3)^2}=\\\\=|x+5|-|x-3|=[/tex]
dla x∈(-5; 3) mamy: x + 5 > 0 i x - 3 < 0, czyli:
|x + 5| = x + 5 i |x - 3| = -x + 3
Zatem:
[tex]\sqrt{x^2+10+25}-\sqrt{x^2-6x+9}=\sqrt{(x+5)^2}-\sqrt{(x-3)^2}=\\\\=|x+5|-|x-3|=x+5-(-x+3)=x+5+x-3=\bold{2x+2}[/tex]
