Odpowiedź :
Rozwiązanie:
Pisząc tę odpowiedź, zakładam, że masz na myśli postać iloczynową funkcji kwadratowej.
Niech będzie dana funkcja kwadratowa [tex]f(x)=ax^{2}+bx+c[/tex]. To jest najbardziej pospolita postać tej funkcji, czyli postać ogólna. Z tak zapisanego wzoru funkcji nie jesteśmy w stanie zbyt wiele dostrzec. Bardziej przydatna jest nadmieniona wyżej postać iloczynowa. Jej wygląd zależy od wyróżnika trójmianu kwadratowego, czyli tzw. delty:
1) Jeżeli [tex]\Delta>0[/tex], to:
[tex]f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})[/tex]
2) Jeżeli [tex]\Delta=0[/tex], to:
[tex]f(x)=a(x-x_{0})^{2}[/tex]
3) Jeżeli [tex]\Delta<0[/tex], to postać iloczynowa nie istnieje.
gdzie:
[tex]a[/tex] - współczynnik stojący przy drugiej potędze zmiennej (najczęściej przy [tex]x^{2}[/tex]),
[tex]x_{1}, x_{2}[/tex] - miejsca zerowe funkcji (pierwiastki),
[tex]x_{0}[/tex] - miejsce zerowe funkcji (tzw. pierwiastek podwójny).
Postać iloczynowa pozwala nam stwierdzić od razu (bez wykonywania jakichkolwiek obliczeń) :
- jak skierowane są ramiona paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej (są skierowane w dół, gdy [tex]a<0[/tex] i w górę, gdy [tex]a>0[/tex]),
- ile i jakie są miejsca zerowe funkcji (pierwiastki), co jest szczególnie przydatne w rozwiązywaniu równań kwadratowych.
Mając daną określoną postać funkcji możemy zawsze przejść na inną - taką, której akurat pożądamy. Mimo, że postać iloczynowa jest korzystna, to nie zawsze zachodzi potrzeba jej użycia.
Ważne jest, aby wiedzieć, w jaki sposób otrzymać postać iloczynową np. z postaci ogólnej, czy kanonicznej funkcji kwadratowej. Jak to zrobić?
1) Gdy mamy daną postać ogólną [tex]f(x)=ax^{2}+bx+c[/tex] :
Wówczas wystarczy, że obliczymy tzw. deltę (nie zawsze jest to koniecznie) i miejsca zerowe funkcji, a następnie wstawimy do powyższego wzoru. Przykład:
[tex]f(x)=2x^{2}-4x-30[/tex]
Obliczamy deltę i miejsca zerowe:
[tex]\Delta=b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4*2*(-30)=16+240=256\\\sqrt{\Delta} =\sqrt{256}=16\\x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta} }{2a} =\frac{4+16}{4} =5\\x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta} }{2a}=\frac{4-16}{4} =-3[/tex]
Podstawiamy do wzoru:
[tex]f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})=2(x-5)(x-(-3))=2(x-5)(x+3)[/tex]
W prosty sposób otrzymaliśmy postać iloczynową.
2) Gdy mamy daną postać kanoniczną [tex]f(x)=a(x-p)^{2}+q[/tex] :
Wówczas wystarczy, że wykonamy konieczne działania i doprowadzimy funkcję do postaci ogólnej, dalej postępujemy tak samo, jak opisano powyżej.
Przykład:
[tex]f(x)=(x-2)^{2}-9[/tex]
Wykonujemy działania:
[tex]f(x)=(x-2)^{2}-9=x^{2}-4x+4-9=x^{2}-4x-5[/tex]
Obliczamy deltę i miejsca zerowe:
[tex]\Delta=36\\\sqrt{\Delta}=\sqrt{36} =6\\x_{1}=-1\\x_{2}=5[/tex]
Podstawiamy do wzoru:
[tex]f(x)=(x-(-1))(x-5)=(x+1)(x-5)[/tex]
Postać iloczynową bardzo często wykorzystujemy rozwiązując równania. Przykład:
[tex]x^{2}-7=0\\(x-\sqrt{7})(x+\sqrt{7} )=0\\x=-\sqrt{7} \vee x=\sqrt{7}[/tex]
W tym przykładzie skorzystaliśmy ze wzoru skróconego mnożenia i od razu otrzymaliśmy postać iloczynową, dzięki czemu szybciej rozwiązaliśmy równanie.