Na rysunku przedstawiony jest wykres pewnej funkcji logarytmicznej f.
Rozwiąż równanie:
[tex]f^{2}(x)-16-0[/tex]

[Wakacyjna lista wyzwań (2021) ; 29]

[tex](log_{\frac{1}{4} }x)^{2}-16=0\\(log_{\frac{1}{4} }x-4)(log_{\frac{1}{4} }x+4)=0\\log_{\frac{1}{4} }x=4 \vee log_{\frac{1}{4} }x=-4\\x=(\frac{1}{4})^{4} \vee x=(\frac{1}{4})^{-4} \\x=\frac{1}{256} \in D \vee x=256 \in D[/tex]

0ABviz 0ABviz · Answer 2

Odpowiedź

Podane równanie [tex]f^2(x) - 16 = 0[/tex] z warunkiem [tex]f(4) = -1[/tex] ma dwa rozwiązania

[tex]x_1 = 4^{-4} = \dfrac 1 {256}[/tex]

oraz

[tex]x_2 = 4^4 = 256[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie

Ponieważ pytanie nie wymaga podania postaci funkcji f, chciałabym pokazać/przypomnieć, że w wielu zadaniach właśnie tak jest, iż nie ma potrzeby podawania dokładnej postaci funkcji.

Znamy ogólną postać funkcji i jej wartość w punkcie A

[tex]f(x) = log_a \, x\\f(4) = -1 ~~ \Rightarrow ~~ log_a \, 4 = -1[/tex]

Rozwiązujemy równanie

[tex]\displaystyle f^2(x) - 16 = 0\\\displaystyle \left( f(x) - 4 \right) \cdot \left( f(x) + 4 \right) = 0[/tex]

Rozwiązanie jest sumą rozwiązań równań

[tex]f(x) = -4\\\\f(x) = 4[/tex]

Pierwsze z nich

[tex]f(x) = -4\\\\f(x) = log_a \, x = -4\\log_a \, 4 = -1\\\\\\\dfrac {log_a \, x} {log_a \, 4} = \dfrac {-4} {log_a \, 4}\\\\log_4 \, x = \dfrac {-4} {-1}\\\\log_4 \, x = 4 ~~ \Rightarrow ~~ x = 4^4 = 256[/tex]

I drugie

[tex]f(x) = 4\\\\f(x) = log_a \, x = 4\\log_a \, 4 = -1\\\\\\\dfrac {log_a \, x} {log_a \, 4} = \dfrac {4} {log_a \, 4}\\\\log_4 \, x = \dfrac {4} {-1}\\\\log_4 \, x = -4 ~~ \Rightarrow ~~ x = 4^{-4} = \dfrac 1 {256}[/tex]

P.S.

Na podobnej zasadzie wczoraj odpowiedziałam w zadanym pytaniu, że wyliczenie nie było potrzebne – wystarczyło sprawdzić.