Wyobraź sobie następującą sytuację: człowiek dowiaduje się o plotce, po 10 minutach opowiada tę plotkę swoim trzem najlepszym przyjaciołom. Wyobraź sobie, że każda z trzech koleżanek postanawia zrobić to samo i 10 minut później przekazują wiadomość trzem kolegom, którzy jeszcze jej nie znali. Tak więc każda osoba, która otrzymała wiadomość, zawsze przekazywała ją trzem niedoinformowanym kolegom, poświęcając na to 10 minut. Po ilu minutach ta plotka dociera do 364 osób?

[tex]a_{n}=a_{1} *q^{n-1}[/tex], gdzie [tex]a_{1} = 1, q=3[/tex] (na początku 1 człowiek dowiedział się o plotce, za każdym razem każdy przekazuje 3 osobom)

Zatem n-ty wyraz ciągu ma postać: [tex]a_{n}=1 *3^{n-1}[/tex]

Mamy podaną sumę wyrazów (liczbę osób, do których dotarła plotka). Poszukujemy czasu t, po którym plotka dotarła do tych osób : [tex]t=(n-1)*10minut[/tex]

n-1, bo

Wzór ogólny na sumę ciągu geometrycznego: [tex]S_{n} = a_{1}*\frac{1-q^{n} }{1-q}[/tex]

W naszym przypadku: [tex]S_{n} = 1*\frac{1-3^{n} }{1-3}[/tex], czyli [tex]S_{n} = \frac{1-3^{n} }{-2} =\frac{3^{n} -1}{2}[/tex]

Szukamy, dla jakiego n suma wyniesie [tex]\\S_{n} = 364\\[/tex]

[tex]364= \frac{3^{n} -1}{2} \\728= 3^{n} -1\\729=3^{n}\\729=3^{6}\\n=6[/tex]

Czyli 6 grup musiało przekazać plotkę, co za każdym razem trwało 10 minut, przy czym pierwsza osoba dowiedziała się "bezkosztowo" więc t=(6-1)*10 minut = 50 minut

0ABviz 0ABviz · Answer 2

Odpowiedź

Plotka dojdzie do 364 osób po 50 minutach.

Szczegółowe wyjaśnienie

W obliczeniach można po kolei mnożyć i sumować, ale można wykorzystać wzór na sumę częściową postępu geometrycznego (ciągu geometrycznego).

[tex]\displaystyle a_1 = 1\\q = 3\\\\S_n = 364\\\\S_n = \dfrac {a_1 \cdot (1 - q^n)} {1 - q}[/tex]

Z równania na sumę pierwszych n wyrazów obliczę n, co mi powie ile razy następowało przekazywanie wiadomości kolejnym osobom.

[tex]\displaystyle 364 = \dfrac {a_1 \cdot (1 - q^n)} {1 - q} = \dfrac {1 \cdot (1 - 3^n)} {1 - 3}\\\\\\364 = \dfrac {1 - 3^n} {-2}\\\\-728 = 1 - 3^n\\\\3^n = 729 = 9 \cdot 81 = 9^3 = 3^6\\\\n = 6[/tex]

Dla n = 1 wie tylko 1 osoba, czas jest 0 minut.

Dla n = 2 wiedzą 4 osoby, czas jest 10 minut.

Dla n = 3 czas jest 20 minut.

Można dalej po kolei wypisywać lub użyć wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:

[tex]t_1 = 0 ~ \text {minut}\\r = 10 ~ \text {minut}\\t_n = t_1 + (n - 1) \cdot r\\t_6 = 0 + (6 - 1) \cdot 10 = 5 \cdot 10 = 50 ~ \text {minut}[/tex]