Równanie Schrödingera:
[tex]-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi(x,y)=\varepsilon\Psi(x,y)[/tex]
wprowadzę jednostkę długości L, oraz jednostkę energii
[tex]\tilde{\epsilon}=\frac{\hbar^2}{mL^2}[/tex]
w tych jednostkach
[tex]\Psi(x,y)=\psi(x)\phi(y)\\-\frac{1}{2}\frac{d}{dx}\psi(x)\cdot\phi(y)-\frac{1}{2}\frac{d}{dy}\phi(y)\cdot\psi(x)=\epsilon\psi(x)\phi(y)[/tex]
widać, że funkcja falowa separuje się dobrze na kierunek x oraz y
[tex]-\frac{1}{2}\frac{d}{dx}\psi(x)=\varepsilon_x\psi(x)\\-\frac{1}{2}\frac{d}{dy}\phi(y)=\varepsilon_y\phi(y)\\\psi(x)=A_x\sin{k_x x}\\\phi(y)=A_y\sin{k_y y}\\k_{x,y}=\sqrt{2\varepsilon_{x,y}}[/tex]
[tex]\Psi(x,y)=A\sin{(k_x x)}\sin{(k_y y)}[/tex]
stałą A należy znaleźć z warunku unormowania (tu nie jest to wymagane, bo interesuje nas tylko energia)
A=2
z warunków ciągłości
[tex]\psi(0)=\psi(1)=0\\\phi(0)=\psi(1)=0\\k_{x}=n_x\pi\\k_y=n_y\pi\\\varepsilon=\varepsilon_x+\varepsilon_y=\frac{n_x^2+n_y^2}{2}\pi[/tex]
Najniższe poziomy energetyczne odpowiadają
[tex]\varepsilon_{1,1}=\frac{1+1}{2}\pi^2=\pi^2\\\varepsilon_{1,2}=\frac{1+4}{2}\pi=\frac{5}{2}\pi^2\\\varepsilon_{2,1}=\frac{4+1}{2}\pi=\frac{5}{2}\pi^2\\\varepsilon_{2,2}=\frac{4+4}{2}\pi=4\pi^2\\\varepsilon_{1,3}=\frac{1+9}{2}\pi=5\pi^2\\\varepsilon_{3,1}=\frac{9+1}{2}\pi=5\pi^2[/tex]
Jak widać mamy degenerację. Z tego względu nie na się jednoznacznie wybrać jako piąty stan (3,1) lub (1,3). Należałoby raczej wziąć superpozycję:
(|1,3>+|3,1>)/√2
pozdrawiam
