Odpowiedź
Średnica otwarcia
- długiego kieliszka wynosi 6,4 cm,
- krótkiego kieliszka wynosi 12,2 cm.
Szczegółowe wyjaśnienie
Oznaczenia
- [tex]\displaystyle R_{0,1}[/tex] promień kieliszka na wysokości napełnienia
- [tex]\displaystyle R_{k}[/tex] promień otwarcia, poszukiwana wielkość to [tex]\displaystyle 2 \cdot R_{k}[/tex]
- [tex]\displaystyle H_{0,1}[/tex] wysokość napełnienia do pojemności 0,1 litra (100 cm³)
- [tex]\displaystyle H_k[/tex] wysokość części stożkowej kieliszka
Z twierdzenia Talesa
[tex]\dfrac {2 \cdot R_k} {H_k} = \dfrac {2 \cdot R_{0,1}} {H_{0,1}}\\\\~~~~~~~~~~ \Downarrow\\\\~~ 2 \cdot R_k = \dfrac { H_k } { \: H_{0,1} \: } \cdot 2 \cdot R_{0,1}[/tex]
Przy objętości 0,1 litra, ze wzoru na objętość stożka (jednostka centymetry)
[tex]\displaystyle \dfrac {1} {3} \pi R_{0,1}^2} {H_{0,1}} = 100\\\\\\\displaystyle R_{0,1}^2 = \dfrac {300} {\, \pi \cdot H_{0,1} }\\\\\\\displaystyle R_{0,1} = 10 \cdot \sqrt { \dfrac {3} {\, \pi \cdot H_{0,1} \,} }[/tex]
Łącząc oba wzory otrzymujemy
[tex]\displaystyle 2 \cdot R_k = \dfrac { H_k } { \: H_{0,1} \: } \cdot 2 \cdot R_{0,1} = \dfrac { H_k } { \: H_{0,1} \: } \cdot 2 \cdot 10 \cdot \sqrt { \dfrac {3} {\, \pi \cdot H_{0,1} \,} } = \dfrac { H_k } { \: H_{0,1} \: } \cdot 20 \cdot \sqrt { \dfrac {3} {\, \pi \cdot H_{0,1} \,} }[/tex]
Dla długiego kieliszka
[tex]H_k = 12\\H_{0,1} = 11\\\\\displaystyle 2 \cdot R_k = \dfrac { H_k } { \: H_{0,1} \: } \cdot 20 \cdot \sqrt { \dfrac {3} {\, \pi \cdot H_{0,1} \,} } = \dfrac { 12 } { \: 11 \: } \cdot 20 \cdot \sqrt { \dfrac {3} {\, \pi \cdot 11 \,} } \approx 6,\!4 cm[/tex]
Dla krótkiego kieliszka
[tex]H_k = 5\\H_{0,1} = 4\\\\\displaystyle 2 \cdot R_k = \dfrac { H_k } { \: H_{0,1} \: } \cdot 20 \cdot \sqrt { \dfrac {3} {\, \pi \cdot H_{0,1} \,} } = \dfrac { 5 } { \: 4 \: } \cdot 20 \cdot \sqrt { \dfrac {3} {\, \pi \cdot 4 \,} } \approx 12,\!2 cm[/tex]
