Odpowiedź :
Odpowiedź
Nie wiem jaki rozdział teraz przerabialiście, więc na wszelki wypadek podaję rozwiązania gdzie jest tylko liczenie, bez jakichkolwiek wykresów.
_________________________________________________________
Dziedziną D równania
[tex]\left( \dfrac {x - 2} {x^2 - 2x} \right)^2 - \left( \dfrac {x^2-4} {x-4} \right)^2 = 0[/tex]
jest zbiór
[tex]D = \mathbb{R} \setminus \{ 0, 2, 4 \}[/tex]
Przy założeniu, że rozpatrujemy tylko x należące do dziedziny, równanie można przekształcić
[tex]\left( \dfrac {x - 2} {x^2 - 2x} \right)^2 - \left( \dfrac {x^2-4} {x-4} \right)^2 = 0\\\\\\\left( \dfrac {x - 2} {x \cdot (x - 2)} \right)^2 - \left( \dfrac {x^2-4} {x-4} \right)^2 = 0\\\\\\\dfrac {1} {x^2} - \left( \dfrac {x^2-4} {x-4} \right)^2 = 0[/tex]
Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia otrzymujemy
[tex]\left ( \:\dfrac {1} {x} - \dfrac {x^2-4} {x-4} \: \right) \cdot \left ( \:\dfrac {1} {x} + \dfrac {x^2-4} {x-4} \: \right) = 0[/tex]
Zatem pierwiastkami oryginalnego równania jest suma pierwiastków następujących dwóch równań
[tex]\dfrac {1} {x} - \dfrac {x^2-4} {x-4} = 0[/tex]
oraz
[tex]\dfrac {1} {x} + \dfrac {x^2-4} {x-4} = 0[/tex]
Równanie
[tex]\dfrac {1} {x} - \dfrac {x^2-4} {x-4} = 0[/tex]
można przekształcić (wspólny mianownik, tak jak przy ułamkach) do postaci
[tex]\dfrac{ x^3 - 5x + 4 } { (x - 4) x } = 0[/tex]
Ponieważ łatwo zauważyć, że 1 jest pierwiastkiem, to otrzymujemy
[tex]\dfrac{ (x - 1) (x^2 + x - 4) } { (x - 4) x } = 0[/tex]
stąd
[tex](x - 1) (x^2 + x - 4) = 0[/tex]
Wyznacznik Δ równania kwadratowego wynosi 1 + 4 · 4 = 17. Zatem pierwiastki są następujące
[tex]x_1 = \dfrac {-1 - \sqrt{17}} {2}\\\\x_2 = 1\\\\x_3 = \dfrac {-1 + \sqrt{17}} {2}[/tex]
Równanie
[tex]\dfrac {1} {x} + \dfrac {x^2-4} {x-4} = 0[/tex]
można przekształcić (wspólny mianownik, tak jak przy ułamkach) do postaci
[tex]\dfrac{ x^3 - 3x - 4 } { (x - 4) x } = 0[/tex]
czyli przy założeniu, że rozpatrujemy x z dziedziny D
[tex]x^3 - 3x - 4 = 0[/tex]
Powyższe równanie trzeciego stopnia ma jeden pierwiastek rzeczywisty oraz dwa pierwiastki zespolone (które dalej pomijam). Pierwiastek rzeczywisty to
[tex]x_4 = \sqrt[3]{\, 2 - \sqrt{3 \: } \: } + \sqrt[3]{\, 2 + \sqrt{3 \: } \: }[/tex]
W przybliżeniu pierwiastki są
[tex]x_1 \approx -2,5616\\x_2 = 1\\x_3 \approx 2,1958\\x_4 \approx 1,5616[/tex]
_________________________________________________________
Dziedziną D równania
[tex]\dfrac {\: (x - 5)^3 + (x - 5)^3 \,} {2x} = 300[/tex]
jest zbiór
[tex]D = \mathbb{R} \setminus \{ 0 \}[/tex]
Przy założeniu, że rozpatrujemy tylko x należące do dziedziny, równanie można przekształcać następująco
[tex](x - 5)^3 = 300x\\\\x^3 - 15 x^2 - 225 x - 125 = 0[/tex]
Powyższe równanie trzeciego stopnia ma następujące trzy pierwiastki rzeczywiste
[tex]\displaystyle x_1 = 5 - \dfrac {5 \cdot \sqrt[3]{4} \cdot (1 + i \sqrt{3} ) } { \sqrt[3]{3 + i \sqrt{7}}} - \dfrac {5 \cdot (1 - i \sqrt{3} ) \cdot \sqrt[3]{3 + i \sqrt{7} } } {\sqrt[3]{4}} = \\\\\\= 5 - 10 \, \sqrt{3} \, sin \! \left( \dfrac{1}{3} ctg \left(\dfrac {\sqrt{7}} {3} \right) \right) - 10 \, cos \! \left(\dfrac{1}{3} ctg \left(\dfrac {\sqrt{7}} {3} \right) \right)[/tex]
[tex]x_2 = 5 - \dfrac {5 \cdot \sqrt[3]{4} \cdot (1 - i \sqrt{3} ) } { \sqrt[3]{3 + i \sqrt{7}}} - \dfrac {5 \cdot (1 + i \sqrt{3} ) \cdot \sqrt[3]{3 + i \sqrt{7} } } {\sqrt[3]{4}} = \\\\\\= 5 + 10 \, \sqrt{3} \, sin \! \left( \dfrac{1}{3} ctg \left(\dfrac {\sqrt{7}} {3} \right) \right) - 10 \, cos \! \left(\dfrac{1}{3} ctg \left(\dfrac {\sqrt{7}} {3} \right) \right)[/tex]
[tex]\displaystyle x_3 = 5 \cdot \left( 1 + \dfrac {2 \cdot \sqrt[3]{4} } { \sqrt[3]{3 + i \sqrt{7}}} + \sqrt[3]{2(3 + i \sqrt{7} )} } \right) = \\\\\\= 5 + 20 \, cos \! \left(\dfrac{1}{3} ctg \left(\dfrac {\sqrt{7}} {3} \right) \right)[/tex]
Wartości przybliżone tych pierwiastków są
[tex]x_1 \approx -8.8437\\\\x_2 \approx -0.57875\\\\x_3 \approx 24.422[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie
Rozwiązywanie równań trzeciego stopnia jest podawane w podręcznikach. Ale rzadko jako zadanie, bo poza ogromem obliczeń nie ma w metodzie nic ciekawego. Stąd moje rozwiązanie graficzne.