Niestety nie podano, czy stałe b i c są dodatnie, jeśli tak jest, to sprawa jest prosta:
[tex]s=\int_{0}^t{v(t')\, dt'}\\s=\frac{1}{2}bt^2+\frac{2}{3}ct^3[/tex]
Jeżeli b<0 i c>0
[tex]bt+2ct^2<0\\2ct<-b\\t<-\frac{b}{2c}[/tex]
dla czasu w przedziale(0; -b/(2c)) prędkość jest ujemna i trzeba wziąć moduł
[tex]s_1=-\int_{0}^{-b/(2c)}{(bt_1+2ct_1^2)\, dt_1}\\s_1=-\frac{1}{2}b(\frac{b}{2c})^2-\frac{2}{3}c\cdot(-\frac{b}{2c})^3=-\frac{b^3}{8c^2}+\frac{2b^3}{24c^2}=-\frac{b^3}{24c^2}[/tex]
[tex]s_2=\int_{-b/(2c)}^t{(bt+2ct^2)}=\frac{1}{2}bt^2+\frac{2}{3}ct^3-\frac{b^3}{24c^2}[/tex]
[tex]s=s_1+s_2=-\frac{b^3}{12c^2}+\frac{1}{2}bt^2+\frac{2}{3}t^3[/tex]
Jeżeli b>0 i c<0
[tex]t>-\frac{b}{2c}\\s_1=\int_{0}^{-b/(2c)}{v(t_1)\, dt_1}=\frac{b^3}{2c^2}\\s_2=-\int_{-b/(2c)}^{t}{v(t_1)\, dt_1}=\frac{b^3}{2c^2}-\frac{1}{2}bt^2-\frac{2}{3}ct^3\\s=s_1+s_2=\frac{b^3}{12c^2}-\frac{bt^2}{2}-\frac{2}{3}ct^3[/tex]
oczywiście jest to przy założeniu, że czas ruchu t>-b/(2c) w przeciwnym wypadku należy wziąć tylko drogę s_1.
Wreszcie, jeśli zarówno b<0, jak i c<0
[tex]s=-\int_{0}^{t}{v(t_1)\, dt_1}=-\frac{1}{2}bt^2-\frac{2}{3}ct^3[/tex]
pozdrawiam
