Rozwiązanie:
Ustalmy standardowe oznaczenia w trójkącie tzn. boki trójkąta to [tex]a,b,c[/tex], a kąty leżące na przeciwko tych boków odpowiednio to: [tex]\alpha , \beta , \gamma[/tex]. Wówczas nasze założenia wyglądają tak:
[tex]a,b,c>0[/tex]
[tex]\frac{a}{cos\alpha } =\frac{b}{cos\beta }[/tex]
Stąd wiemy, że:
[tex]acos\beta =bcos\alpha[/tex]
Ponadto z twierdzenia cosinusów mamy następujące równości:
[tex]a^2=b^2+c^2-2bccos\alpha \\b^2=a^2+c^2-2accos\beta \\a^2-b^2=b^2-a^2-2bccos\alpha +2accos\beta \\2a^2-2b^2=2accos\beta -2bccos\alpha \\a^2-b^2=accos\beta -bccos\alpha \\(a-b)(a+b)=c(acos\beta -bcos\alpha )=0\\[/tex]
Przy czym ostatnia równość wynika wprost z założenia. To oznacza, że:
[tex]a-b=0 \vee a+b=0[/tex]
Druga równość przeczy założeniu, co prowadzi nas do wyniku:
[tex]a=b[/tex]
co kończy dowód, iż trójkąt jest równoramienny.
