Szymonjan2040viz
Rozwiązane

Jak obliczyć, z jaką prędkością musiałoby się poruszać ciało, żeby podczas ruchu nie upadało ono na ziemię pod wpływem siły grawitacji? Z jaką prędkością musiałbym ciągnąć Dziewczynę na pontonie lub w wózku, żeby przy zjeździe z krawężnika nie spadła na ziemię, tylko leciała do przodu jak samolot, przy założeniu, że Dziewczyna waży 50 kg, a kąt między kierunkiem ruchu pontonu, na którym siedzi Dziewczyna, a sznurkiem wynosi jakieś 45° (stopni)? Jak to się liczy?

Odpowiedź :

Odpowiedź napisałam w trzech (niezależnych) odsłonach, ponieważ pytanie składa się z trzech części.

Część I.

Jak obliczyć, z jaką prędkością musiałoby się poruszać ciało, żeby podczas ruchu nie upadało ono na Ziemię pod wpływem siły grawitacji?

Odpowiedź

To jest taka prędkość przy której siła grawitacji jest równa sile dośrodkowej. Przyjmując oznaczenia, że

  • [tex]G[/tex]  stała grawitacji
  • [tex]M[/tex]  M masa Ziemi
  • [tex]m[/tex]  masa ciała niespadającego na Ziemię
  • [tex]R[/tex]  promień Ziemi
  • [tex]v[/tex]  poszukiwana prędkość

i przyrównując obie siły otrzymujemy

[tex]\dfrac {\: mv^{2} } {R} = \dfrac {\: GMm \:} {R^{2}}\\\\\\\displaystyle v^{2} = \dfrac {GM} {R}\\\\\\\displaystyle v = \sqrt {\, \dfrac {GM} {R} \:}[/tex]

Taka prędkość nazywa się pierwszą prędkością kosmiczną.

( Wysokość krawężnika pominęłam, jak również założyłam, że jesteśmy przy plaży – a w każdym razie w miarę blisko poziomu morza... )

Z samolotem to bardzo zły przykład, bo samolot nie spada dzięki sile nośnej. A to zupełnie inne zagadnienie.

Czyli dziewczyna musiałaby się poruszać z pierwszą prędkością kosmiczną, która na Ziemi wynosi około 7,91 km/s. Jest to wielokrotnie więcej niż prędkość dźwięku!

Wyjaśnienie

Pominęłam Twoje pytanie o siłę? Nie. :-)

Ono tutaj nie pasuje. Satelita Ziemi nie jest napędzany! Satelita cały czas jest w swobodnym spadku! Tylko, że ponieważ bardzo szybko leci to efektywnie nie opada... Uwaga:

  • gdyby leciał wolniej to by spadł;
  • gdyby leciał szybciej, to by się oddalił od Ziemi (i tutaj się robi skomplikowanie i teoretycznie, i praktycznie, bo oddalił nie znaczy, że by nie powrócił i trzeba by co najmniej wprowadzić pojęcie drugiej prędkości kosmicznej)
  • musi lecieć dokładnie tyle ile potrzeba...

Część II.

Z jaką prędkością musiałbym ciągnąć Dziewczynę na pontonie lub w wózku [...] ?

Odpowiedź

Nie ciągnie się z prędkością. Ciągnie się z siłą, co omówię w części III. Natomiast ciągnięta Dziewczyna (ogólnie obiekt, ciało) ma w wyniku działania sił(y) jakąś prędkość, jaką omówiłam w części I.

Część III.

Dziewczyna waży 50 kg, a kąt między kierunkiem ruchu pontonu, na którym siedzi Dziewczyna, a sznurkiem wynosi jakieś 45° (stopni)? Jak to się liczy?

Odpowiedź

Na chwilę zupełnie pomińmy fakt, że w rzeczywistości mamy do czynienia z ruchem po okręgu i przyjmijmy, że Dziewczyna porusza się ruchem prostoliniowym. Aby nie spadła (z nieważkim... pontonem) na ziemię siła z którą ponton jest ciągnięty do góry musi być równa sile grawitacji.

Przy oznaczeniach

  • [tex]g[/tex]  przyspieszenie ziemskie (w przybliżeniu [tex]g[/tex] = 10 m/s²)
  • [tex]m[/tex]  masa ciała niespadającego na Ziemię, czyli pontonu i Dziewczyny

na ponton z Dziewczyną o masie [tex]m[/tex] musi działać siła skierowana ku górze o wartości

   [tex]F_g = m \cdot g[/tex]

Jeżeli siła przyłożona przez sznurek  [tex]F[/tex]  jest przyłożona pod kątem 45º, to jej składowa do góry jest równa

   [tex]F_g = \dfrac {\sqrt 2} {2} \cdot F[/tex]

Ale siła F ma też składową w kierunku ruchu o tej samej wartości co [tex]F_g[/tex] .

Czyli w kierunku poziomym mamy ruch jednostajnie przyspieszony o przyspieszeniu

   [tex]a = \dfrac {m \cdot g} m = g[/tex]

W praktyce oznacza to, że po czasie czterech sekund ( [tex]t = 4 s[/tex] ) ciało (Dziewczyna na pontonie) osiągnie prędkość

   [tex]g \cdot t = 10 \, m/s^2 \cdot 4 s = 40 \, m/s = 144 \, km/h[/tex]

i dostaniesz mandat za przekroczenie prędkości...

A wielkość siły F to

   [tex]F = \sqrt 2 \cdot F_g = \sqrt 2 \cdot m \cdot g = \sqrt 2 \cdot 50 \cdot 10 N = 500 \cdot \sqrt 2 N = 707 N[/tex]

Viz Inne Pytanie