Odpowiedź:
Sinus kąta pod jakim przecinają się przekątne wynosi 0,8
Szczegółowe wyjaśnienie:
Dane (rysunek w załączniku):
|AB| = a = 4 cm
|CD| = b = 2 cm
|EF| = h
P = 18 cm²
Ze wzoru na pole trapezu wyznaczamy jego wysokość:
[tex]P=\dfrac{a+b}2\cdot h\\\\18=\dfrac{4+2}2\cdot h\\\\18=3h\qquad/:3\\\\h=6\ cm[/tex]
W trapezie równoramiennym trójkąty utworzone przy podstawach przez przekątne trapezu są podobne (ΔCDS ~ ΔABS).
Zatem:
[tex]\dfrac{|FS|}{|ES|}=\dfrac{|CD|}{|AB|}\\\\\dfrac{|FS|}{|ES|}=\dfrac24\qquad/\cdot|ES|\\\\|FS|=\frac12|ES|[/tex]
Stąd:
h = |FS| + |ES| = 0,5|ES| + |ES| = 1,5|ES|
1,5|ES| = 6 /:1,5
|ES| = 4 cm
Z tw. Pitagorasa:
[tex]|BE|^2 + |ES|^2 = |BS|^2\\\\2^2+4^2=|BS|^2\\\\|BS|^2 =4+16\\\\|BS|^2=20\\\\|BS|=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\ cm[/tex]
Pole trójkąta możemy policzyć jako połowę iloczynu jego podstawy (AB) i wysokość (ES) albo jako połowę iloczynu dwóch jego boków (tu: AS i BS) i sinusa kąta między nimi (∡ASB).
Zatem:
[tex]\frac12|AS||BS|\sin\angle ASB=\frac12|AB||ES|\\\\ \frac12\cdot\sqrt{20}\cdot\sqrt{20}\,\sin\angle ASB=\frac12\cdot4\cdot4\\\\ 10\,\sin\angle ASB=8\qquad/:10\\\\\sin\angle ASB=\dfrac{8}{10}=0,8[/tex]
