Odpowiedź:
Jeżeli pytanie jest następujące: oblicz granicę dla n dążącego do nieskończoności...
[tex]\displaystyle \lim _{n\to \infty } e^{\left( \dfrac {12 n - 20 \sqrt{\,n\:}} {2 n + 3} \right)}[/tex]
To korzystając z twierdzenia o granicy funkcji złożonej wystarczy znaleźć granicę g wyrażenia w wykładniku
[tex]g = \displaystyle \lim _{n\to \infty } {\left( \dfrac {12 n - 20 \sqrt{\,n\:}} {2 n + 3} \right)}[/tex]
a wtedy
[tex]\displaystyle \lim _{n\to \infty } e^{\left( \dfrac {12 n - 20 \sqrt{\,n\:}} {2 n + 3} \right)} = e^g[/tex]
Obliczenie g
[tex]g = \displaystyle \lim _{n\to \infty } {\left( \dfrac {12 n - 20 \sqrt{\,n\:}} {2 n + 3} \right)} =\\\\\\~~~~~~\displaystyle \lim_{n\to \infty } {\left( \dfrac {12 - \dfrac {20} { \sqrt{\,n\:} } } {2 + \dfrac {3} {n} } \right)} =\\\\\\~~~~~~\displaystyle \dfrac {12} {2} = 6[/tex]
Zatem
[tex]\boxed {\:\:\: \displaystyle \lim _{n\to \infty } e^{\left( \dfrac {12 n - 20 \sqrt{\,n\:}} {2 n + 3} \right)} =\displaystyle e^6 \:\:\: }[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie
Pierwsza granica jest zawsze 0, druga wynika z obliczania granicy różnicy funkcji oraz z tego, że granica funkcji stałej jest tą stałą.
[tex]\displaystyle { \lim_{ n\to \infty } \dfrac {20} { \sqrt{\,n\:} } = 0}\\\\\\\displaystyle { \lim_{ n\to \infty } \left( 12 - \dfrac {20} { \sqrt{\,n\:} \right)} = \displaystyle { 12 - \lim_{ n\to \infty } \dfrac {20} { \sqrt{\,n\:} } = 12}[/tex]
Pierwsza granica jest zawsze 0, druga wynika z obliczania granicy sumy funkcji oraz z tego, że granica funkcji stałej jest tą stałą.
[tex]\displaystyle { \lim_{n\to \infty } \dfrac {3} {n} } = 0\\\\\\\displaystyle { \lim_{n\to \infty } \left( 2 + \dfrac {3} {n} \right) } = \displaystyle { 2 + \lim_{n\to \infty } \dfrac {3} {n} } = 2[/tex]
Granicę ilorazu funkcji można obliczyć (nie zawsze!!!) jako iloraz granic funkcji.
[tex]\displaystyle \lim_{n\to \infty } {\left( \dfrac {12 - \dfrac {20} { \:\sqrt{\,n\:} \: } } {2 + \dfrac {3} {\,n\,} } \right)} = \dfrac { \displaystyle \lim_{ n \to \infty } \left( 12 - \dfrac {20} { \: \sqrt{\,n\:} \:} \right) } { \displaystyle \lim_{n\to \infty } \left( 2 + \dfrac {3} {\,n\,} }\right) } = \displaystyle \dfrac {\: 12 \: } {2} = 6[/tex]