Zagadnienie własne:
[tex]\left[\begin{array}{ccc}3&-1&1\\1&1&1\\4&-1&4\end{array}\right]\cdot \vec{v}=\lambda \vec{v}[/tex]
[tex]\left[\begin{array}{ccc}3-\lambda&-1&1\\1&1-\lambda&1\\4&-1&4-\lambda\end{array}\right]\cdot\vec{v}=0[/tex]
ponieważ nie interesuje nas trywialny wektor v trzeba postawić warunek, że wyznacznik macierzy jest zerowy
[tex]W=\left|\begin{array}{ccc}3-\lambda&-1&1\\1&1-\lambda&1\\4&-1&4-\lambda\end{array}\right|=0[/tex]
Liczę ten wyznacznik np. metodą Sarrusa
[tex](3-\lambda)(1-\lambda)(4-\lambda)-1-4-4(1-\lambda)+(3-\lambda)+(4-\lambda)=0\\(3-4\lambda+\lambda^2)(4-\lambda)-5-4+4\lambda+7-2\lambda=0\\12-3\lambda-16\lambda+4\lambda^2+4\lambda^2-\lambda^3-2+2\lambda=0\\-\lambda^3+8\lambda^2-17\lambda+10=0[/tex]
Teraz trzeba poszukać pierwiastków wielomianu. Jeden widzimy od razu, jest to
[tex]\lambda_1=1\\-1+8-17+10=0[/tex]
następnie, z tw Bezout'a
[tex](-\lambda^3+8\lambda^2-17\lambda+10):(\lambda-1)=-\lambda^2+7\lambda-10[/tex]
[tex]\Delta=49-40=9\\\lambda_2=\frac{-7+3}{-2}=2\\\lambda_3=5[/tex]
Zatem nasze wartości własne, to [tex]\lambda=\{1,2,5\}[/tex]
Odpowiadające im wektory własne:
[tex]\lambda=1\\\\\left[\begin{array}{ccc}2&-1&1\\1&0&1\\4&-1&3\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{c} v_1\\v_2\\v_3\end{array}\right]=0\\\\2v_1-v_2+v_3=0\\v_1+v_3=0\\\\v_2=v_1\\v_3=-v_1\\\vec{v}=v_1[1;1;,-1]\\v_1=1/\sqrt{3}[/tex]
jeżeli chcemy, aby wektor był unormowany
analogicznie dla drugiej wartości własnej
[tex]\lambda=2\\\\\left[\begin{array}{ccc}1&-1&1\\1&-1&1\\4&-1&2\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}v_1\\v_2\\v_3\end{array}\right] =0\\\\v_1-v_2+v_3=0\\4v_1-v_2+2v_3=0\\v_3=-3v_1\\v_2=-2v_1\\\\\vec{v}=v_1[1;-2;-3]\\v_1=1/\sqrt{14}[/tex]
oraz dla trzeciej wartości własnej
[tex]\lambda=5\\\\\left[\begin{array}{ccc}-2&-1&1\\1&-4&1\\4&-1&-1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}v_1\\v_2\\v_3\end{array}\right] =0\\\\-2v_1-v_2+v_3=0\\v_1-4v_2+v_3=0\\v_2=v_1\\v_3=3v_1\\\\\vec{v}=v_1[1;1;3]\\v_1=1/\sqrt{11}[/tex]
pozdrawiam
