Odpowiedź:
Iloczyn pierwiastków jest równy 1 dla [tex]\bold{m=\frac32\quad\vee\quad m=-\frac32}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
x² - (m - 2)x - m² + ¹³/₄ = 0
a = 1, b = -(m - 2), c = -m² + ¹³/₄
a = 1 ≠ 0, czyli mamy równanie kwadratowe.
Żeby istniał iloczyn pierwiastków, to muszą istnieć same pierwiastki. Mogą być jednakowe (Δ=0, jedno rozwiązanie) lub różne (Δ>0, dwa rozwiązania)
Zatem musi być spełniony warunek:
Δ = [-(m-2)]² - 4·1·(-m² + ¹³/₄) = m² - 4m + 4 - 4m² - 13 = -3m² - 4m - 9
-3m² - 4m - 9 ≥ 0 |:(-1)
3m² + 4m + 9 ≤ 0
[tex]\Delta_m=4^2-4\cdot3\cdot9 = 16-108=-92<0[/tex]
[tex]a_m=3>0\ \ \wedge\ \ \Delta_m<0[/tex], czyli wyrażenie 3m² + 4m + 9 ≤ 0 jest zawsze prawdziwe.
Zatem warunek Δ ≥ 0 jest spełniony dla każdego m ∈ R.
Skoro Δ ≥ 0, to możemy skorzystać z wzorów Viete'a, żeby wyznaczyć iloczyn pierwiastków równania:
[tex]x_1\cdot x_2=\dfrac ca=\dfrac{-m^2+\frac{13}4}{1}=-m^2+\frac{13}4[/tex]
Zatem:
[tex]-m^2+\frac{13}4=1\qquad/-\frac{13}4\\\\-m^2=-\frac{9}4\qquad/:(-1)\\\\{}\quad m^2=\frac{9}4\\\\m=\frac32\quad\vee\quad m=-\frac32[/tex]
