Odpowiedź
a) Należy zauważyć, że oryginalne równanie
[tex]\displaystyle x^3 - 6 x^2 - 9 x + 54 = 0[/tex]
można zapisać w postaci
[tex]\displaystyle x^2 \cdot (x - 6) - 9 \cdot (x - 6) = 0\\\\\displaystyle (x - 6) \cdot (x^2 - 9) = 0\\\\\displaystyle (x - 6) \cdot (x^2 - 3^2) = 0 ~~~~~~ | ~ \text{ze wzor\'ow skr\'oconego mno\.zenia}\\\\\displaystyle (x - 6) \cdot (x - 3) \cdot (x + 3) = 0[/tex]
Zatem pierwiastkami równania
[tex]\displaystyle x^3 - 6 x^2 - 9 x + 54 = 0[/tex]
są liczby -3, 3 oraz 6.
b) Po podzieleniu obu stron oryginalnego równania
[tex](2x + 5)(x^3 + 1)(2x^2 - 8) = 0[/tex]
przez cztery otrzymujemy
[tex]\left(x + \dfrac {5} {2} \right)(x^3 + 1)(x^2 - 4) = 0\\\\ \left(x + \dfrac {5} {2} \right) (x + 1) (x^2 - x + 1)(x - 2)(x + 2) = 0[/tex]
Ponieważ równanie
[tex]\displaystyle x^2 - x + 1 = 0[/tex]
nie ma rozwiązań rzeczywistych, pierwiastkami równania
[tex](2x + 5)(x^3 + 1)(2x^2 - 8) = 0[/tex]
są liczby -2,5 -2, -1, 2.
c) Należy zacząć od sprawdzenia kiedy mianownik jest równy zero.
[tex]\displaystyle x^2 + 7x + 10 = 0\\~~~~ \Downarrow\\(x + 2) (x + 5) = 0\\~~~~ \Downarrow\\x \neq -5 ~~ \wedge ~~x \neq -2[/tex]
Czyli rozwiązań równania
[tex]\displaystyle x^2 - x - 6 = 0\\[/tex]
szukamy w zbiorze [tex]\textbb{R ~ \backslash} ~ \{\, -5, \: -2 \,\}}[/tex]
Sprawdzamy czy -5 lub -2 są pierwiastkami równania
[tex]\displaystyle x^2 - x - 6 = 0\\[/tex]
Okazuje się, że -2 jest!
Ponieważ wyraz wolny jest -6 sprawdzamy czy
[tex]\displaystyle 3 = \dfrac {\: -6 \:} {-2}[/tex]
jest pierwiastkiem równania
[tex]\displaystyle x^2 - x - 6 = 0\\[/tex]
Okazuje się, że 3 jest pierwiastkiem!
Zatem
[tex]\displaystyle x^2 - x - 6 = 0\\~~~~ \Downarrow\\\displaystyle x^2 - x - 6 = (x - 3)(x +2) = 0[/tex]
Pierwiastkiem równania
[tex]\dfrac { \displaystyle x^2 - x - 6 } {\displaystyle \: x^2 + 7x + 10 \: } = 0[/tex]
jest tylko liczba 3, ponieważ dla x = -2 mianownik jest równy 0.
d) Dzieląc przez 4 obie strony oryginalnego równania
[tex]\dfrac { \: (-3 + 2x)(x - 7)(2x + 6) \: } { x^2 - 9 x + 18 } = 0[/tex]
można je przekształcić następująco
[tex]\dfrac { \: \left(x - \dfrac {3} {2} \right)(x - 7)(x + 3) \: } { x^2 - 9 x + 18 } = 0[/tex]
[tex]\dfrac { \: \left(x - \dfrac {3} {2} \right)(x - 7)(x + 3) \: } {(x - 6) (x - 3) } = 0[/tex]
Zatem, pierwiastkami równania
[tex]\dfrac { \: (-3 + 2x)(x - 7)(2x + 6) \: } { x^2 - 9 x + 18 } = 0[/tex]
są liczby -3, 1,5 oraz 7.
Szczegółowe wyjaśnienie
W punkcie b) ze wzorów skróconego mnożenia
[tex]x^3 + 1 = x^3 + 1^3 = (x + 1) (x^2 - x + 1)\\\\\\x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x - 2) \cdot (x + 2)[/tex]
W punkcie c) rozwiązujemy równanie
[tex]\displaystyle x^2 - 9 x + 18 = 0[/tex]
aby sprawdzić miejsca zerowe mianownika. Rozwiązujemy albo używając wyznacznika ( Δ ), albo sprawdzając czy podzielniki (-18, -9, -6, -3, -2, -1, 2, 3, 6, 9, 18) wyrazu wolnego są pierwiastkami .
