Rozwiązanie:
Zadanie 8.22.
c) [tex]f(x)=|tg^{2}x-1|[/tex]
Kolejno mamy:
[tex]tgx \rightarrow f_{1}(D) \in \mathbb{R} \\tg^{2}x \rightarrow f_{2}(D) \in \ <0, \infty)\\tg^2x-1 \rightarrow f_{3}(D) \in \ <-1, \infty)\\|tg^2x-1| \rightarrow f_{4}(D) \in \ <0, \infty)[/tex]
Zatem ostatecznie:
[tex]f(D) \in \mathbb{R} : f(D) \geq 0[/tex]
Zadanie 8.23.
b) [tex]f(x)=cos^{2}2x-cos2x-2[/tex]
Niech [tex]t=cos2x[/tex], wówczas [tex]f_{0}(t)=t^2-t-2[/tex]. Nietrudno zauważyć, że zbiorem wartości funkcji [tex]f_{1}(x)=cos2x[/tex] jest przedział [tex]<-1,1>[/tex]. Zatem, aby wyznaczyć [tex]f(D)[/tex] należy sprawdzić wartości wyrażeń [tex]f_{0}(-1)[/tex], [tex]f_{0}(1)[/tex] oraz opcjonalnie ekstremum, tutaj jest to oczywiście wierzchołek paraboli (jeżeli będzie zawierać się w podanym przedziale). Mamy:
[tex]f_{0}(-1)=1+1-2=0\\f_{0}(1)=1-1-2=-2\\p_{0}=\frac{1}{2} \in \ <-1,1> \Rightarrow f_{0}(p_{0})=f_{0}(\frac{1}{2})=\frac{1}{4} -\frac{1}{2}-2=-\frac{9}{4}[/tex]
Stąd otrzymujemy:
[tex]f(D) \in \mathbb{R}: -\frac{9}{4} \leq f(D) \leq 0[/tex]
c) [tex]f(x)=ctg^2x-2ctgx-3[/tex]
Sytuacja analogiczna jak w powyższym przykładzie. Mamy zatem:
[tex]t=ctgx\\f_{0}(t)=t^2-2t-3\\f_{1}(x)=ctgx \Rightarrow f_{1}(D) \in \mathbb{R}\\p_{0}=\frac{2}{2}=1 \Rightarrow f_{0}(p_{0})=f_{0}(1)=1-2-3=-4[/tex]
Stąd otrzymujemy:
[tex]f(D) \in \mahtbb{R}: f(D)\geq -4[/tex]
