Wysokosci trojkata rownobocznego przecinaja sie w stosunku 2:1, czyli dziela sie na:
[tex]\frac23h + \frac13h = h[/tex]
[tex]h = \frac{a\sqrt3}2[/tex]
Promien okregu opisanego na trojkacie rownobocznym jest rowny dlugosci jego wysokosci.
[tex]R = h = \frac{a\sqrt3}2[/tex]
Promien okregu wpisanego w trojkat rownoboczny jest rowny 1/3 dlugosci jego wysokosci.
[tex]r = \frac13h = \frac13*\frac{a\sqrt3}2=\frac{a\sqrt3}6[/tex]
[tex]a = 2\\R = \frac{2\sqrt3}2=\sqrt3\\r = \frac{2\sqrt3}6=\frac{\sqrt3}3\\\\R-r = \sqrt3-\frac{\sqrt3}3=\frac{3\sqrt3}3-\frac{\sqrt3}3=\frac{3\sqrt3-\sqrt3}3=\frac{2\sqrt3}3[/tex]
[tex]\sqrt3 = \text{ok. } 1,73\\\frac{2\sqrt3}3=\frac{2*1,73}3=\frac{3,46}3=1.53[/tex]
Odp. Dlugosc promienia wpisanego w trojkat rownoboczny o promieniu 2 jest o [tex]\frac23\sqrt3[/tex] (czyli okolo 1,53) krotszy od promienia okregu opisanego na tym trojkacie.
