Odpowiedź:
[tex]f\bigg(\frac{16}{3} \ ; \ \frac{4}{3}\bigg)=-26[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
z warunku wyznaczamy zmienną [tex]y[/tex]:
[tex]y=12-2x[/tex]
Podstawiając do wzoru funkcji [tex]f[/tex] otrzymujemy:
[tex]g(x)=f(x, \ 12-2x)=6-x^2-2(12-2x)^2=-9x^2+96x-282[/tex]
Obliczamy pochodną:
[tex]\frac{d}{dx}g(x)= -18x+96[/tex]
Zerujemy pochodną:
[tex]-18x+96=0\\\\x=\frac{16}{3}[/tex]
Obliczamy pochodną drugiego rzędu:
[tex]\frac{d^2}{dx^2}g(x)= -18[/tex]
Funkcja [tex]g[/tex] ma w punkcie [tex]x=\frac{16}{3}[/tex] maksimum lokalne, ponieważ [tex]g'(\frac{16}{3} )=0[/tex] oraz [tex]g''(\frac{16}{3} )=-18<0[/tex]
Gdy [tex]x=\frac{16}{3}[/tex] z warunku otrzymujemy [tex]y=\frac{4}{3}[/tex] .
Funkcja [tex]f[/tex] ma więc w punkcie [tex]\bigg(\frac{16}{3} \ ; \ \frac{4}{3}\bigg)[/tex] maksimum warunkowe o wartości:
[tex]f\bigg(\frac{16}{3} \ ; \ \frac{4}{3}\bigg)=-26[/tex]
