Wzór na objętość dowolnego graniastosłupa: V = Pp·H
gdzie: Pp to pole podstawy, a H to wysokość graniastosłupa
Wzór na pole powierzchni całkowitej dowolnego graniastosłupa:
P = 2Pp + Pb, gdzie Pp to pole podstawy, a Pb to pole powierzchni bocznej (suma powierzchni wszystkich ścian bocznych) graniastosłupa.
Objętość prostopadłościanu: V = abc, gdzie a, b i c to długości krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka.
Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu:
Pc = 2(ab+ac+bc)
5. B, C
Krawędzie podstawy graniastosłupa:
a = 11 cm
b = c = 5 cm
Krawędzie boczne graniastosłupa: H = 8 cm
Mamy jedną ścianę boczną o wymiarach 11 cm×8 cm i trzy ściany boczne o wymiarach: 5 cm×8 cm, czyli jego pole powierzchni bocznej:
Pb = 11·8 + 3 · 5·8 = 88 + 120 = 208 cm²
Podstawą jest trapez równoramienny, czyli jego wysokości poprowadzone z wierzchołków krótszej podstawy, "odcinają" po bokach dłuższej podstawy dwa jednakowe odcinki równe: x=(a-b):2
x = (11 - 5):2 = 6:2 = 3 cm
Te odcinki z wysokościami (h) i ramionami (c) trapezu tworzą trójkąty prostokątne:
x² + h² = c²
3² + h² = 5²
9 + h² = 25
h² = 16
h = 4 cm
Pole trapezu będącego podstawą graniastosłupa to:
Pp = ¹/₂(a+b)·h
Pp = ¹/₂·(11 + 5)*4 = 16·2 = 32 cm²
Czyli jego objętość to:
V₁ = 32·8 = 256 cm³
Wymiary prostopadłościanu:
a = 5 cm
b = 6 cm
c = 8 cm
Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu:
Pc = 2·(5·6 + 5·8 + 6·8) = 2·(30 + 40 + 48) = 2·118 = 236 cm²
Objętość prostopadłościanu:
V₂ = 5·6·8 = 30·8 = 240 cm³
Zatem:
236 - 208 = 28 cm²
Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest o 28 cm² większe od pola powierzchni bocznej graniastosłupa. (Odp.: B)
Oraz:
256 - 240 = 16 cm³ - o tyle objętość prostopadłościanu jest mniejsza od objętości graniastosłupa.
¹⁶/₂₅₆ = ¹/₁₆
Objętość prostopadłościanu jest o ¹/₁₆ mniejsza od objętości graniastosłupa. (Odp.: C)
7.
Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat.
a - krawędź podstawy
H = 3a - krawędź boczna (wysokość graniastosłupa)
V = Pp·H = a²·3a = 3a³
V = 192 cm³
3a³ = 192 |:3
a³ = 64
a = 4 cm
H = 3·4 = 12 cm
Graniastosłup czworokątny ma 8 krawędzi podstawy (po 4 przy każdej podstawie) i 4 krawędzie boczne (po 1 przy każdym wierzchołku)
Zatem suma krawędzi danego graniastosłupa to:
8a + 4H = 8·4 + 4·12 = 32 + 48 = 60 cm
