Odpowiedź :
Dobra krok po kroku Ci to wytłumaczę. Zakładam od razu, że masz podstawową wiedzę o funkcji kwadratowej i umiesz równania kwadratowe. Postaram się to wytłumaczyć na przykładach.
Mamy nierówność x^2 -2x-4>0
Tak naprawdę zaczynamy to rozwiązywać jak równanie kwadratowe, czyli liczymy deltę i miejsca zerowe.
∆= (-2)^2 + (-4)*(-4)*1
∆= 4+16
∆=20
✓∆=2✓5
X1=2-2✓5/2=1-✓5
X2=1+√5
Gdy mamy już miejsca zerowe najlepiej jest narysować sobie parabole, która przecina oś OX w wyznaczonych miejscach zerowych. Jeżeli współczynnik a jest dodatni to parabola jest skierowana ramionami do góry, jeżeli współczynnik a jest ujemny to do dołu. Niestety nie mam jak tego narysować. Po zrobieniu tego musimy sprawdzić znak, który mamy w nierówności. Czyli jak mamy nierówność x^2-2x-4>0 to mają to być to wartości większe od zera, czyli po prostu te nad osią OX. Rozwiązaniem będzie więc przedział (-niesk.; 1-✓5) u (1+✓5 ; niesk.) Jeżeli byśmy mieli nierówność w postaci x^2-2x-4>=0 to wtedy rozwiązaniem byłby przedział (niesk.; 1-√5> u <1+✓5 ; niesk.) Niesk- nieskończoność
Może występić przypadek w którym ∆=0 i mamy jedno miejsce zerowe. Weźmy na przykład nierówność x^2+2x+1>=0 x^2+2x+1 można zapisać jako wzór skrocengo mnożenia (x+1)^2
(x+1)^2>=0
Czyli miejscem zerowym będzie -1. Wówczas gdy ∆=0 i a>0 parabola nie będzie przyjmować wartości ujemnych, gdy ∆=0, a a<0 parabola nie będzie przyjmować wartości dodatnich. W przypadku naszej nierówności rozwiązaniem będzie x€R, gdyż każda liczba spełni tą nierówność.
Jednak gdybyśmy mieli x+2x+1>0, czyli (x+1)^2>0 to musielibyśmy wykluczyć z rozwiązania -1, gdyż wyszłoby nam 0>0 co nie jest prawdą.
Ostatnim już przypadkiem jest ∆<0. Na wstępie powiem, że taka nierówność może mieć rozwiązania, po prostu nie ma miejsc zerowych. Weźmy na przykład x^2-2x+4>0
∆ = 4-16=-12. Wtedy rozwiązaniem jest x€R. Polecam sobie narysować taką parabolę, znów gdy a>0 parabola będzie nad osią OX, a gdy a<0 będzie znajdować się pod nią. Taka parabola po prostu nie przetnie osi OX ale normalnie będzie istnieć. Tak naprawdę gdy w nierówności kwadratowej wychodzi ∆<0 wszystko zależy od współczynnika a. Gdy jest dodatni to parabola będzie nad osią OX, skierowana ramionami do góry i po prostu nigdy jej nie przetnie. Gdy współczynnik a będzie ujemny parabola będzie pod osią OX, skierowana ramionami w dół i nigdy osi OX nie przetnie. Więc gdybyśmy mieli x^2-2x+4<0 to nie mieli byśmy rozważań żadnych, ale gdybyśmy mieli -x^2-2x+4<0 to znów rozwiązaniem będzie x€R. Mam nadzieję że to zrozumiałeś/aś. Jak coś pisz w kom.