9.21
Z tresci zadania wynika, ze sciana boczna tworzy z polowa przekatnej podstawy i wysokoscia ostroslupa trojkat prostokatny o katach 90, 45, 45.
Obliczamy dlugosc przekatnej podstawy.
[tex]a = 8cm\\d=a\sqrt2\\d=8\sqrt2cm[/tex]
i polowe tej przekatnej
[tex]\frac{d}2=\frac{8\sqrt2cm}{2}=4\sqrt2cm[/tex]
Z wlasnosci trojkata o katach 90 45 45 wynika, ze wysokosc ostroslupa jest rowny polowie dlugosci przekatnej podstawy, wiec
[tex]H = \frac{d}{2}\\H=4\sqrt2cm[/tex]
A dlugosc sciany bocznej to iloczyn polowy przekatnej podstawy i pierwiastka z dwoch, wiec
[tex]b = \frac{d}{2}*\sqrt2\\b=4\sqrt2cm*\sqrt2=4*\sqrt4=4*2=8cm[/tex]
Polowa dlugosci podstawy tworzy z wysokoscia ostroslupa i wysokoscia sciany bocznej trojkat prostokatny, wiec
[tex]\frac{a}2=\frac{8cm}{2}=4cm\\H=4\sqrt2cm\\(4cm)^2+(4\sqrt2cm)^2=h^2\\16cm^2+32cm^2=h^2\\h^2=48cm^2\\h=\sqrt{48cm^2}=4\sqrt3cm[/tex]
Znajac wszystkie wielkosci, mozemy z latwoscia obliczyc objetosc i pole powierzchni ostroslupa.
[tex]V=Pp*H\\Pp=a^2\\Pp=(8cm)^2=64cm^2\\V=64cm^2*4\sqrt2cm=256\sqrt2cm^3[/tex]
[tex]Pc=Pp+4*Pb\\Pp=64cm^2\\Pb=\frac{ah}{2}\\Pb=\frac{8cm*4\sqrt3cm}{2}=4cm*4\sqrt3cm=16\sqrt3cm^2\\Pc=64cm^2+4*16\sqrt3cm^2=64cm^2+256\sqrt3cm^2=(64+256\sqrt3)cm^2[/tex]
