Odpowiedź:
zad 1
A = ( 3 , - 6 ) , B = ( - 5 , 10 )
xa = 3 , xb = - 5 , ya = - 6 , yb = 10
(xb - xa)(y - ya) = (yb - ya)(x - xa)
(- 5 - 3)(y + 6) = ( 10 + 6)(x - 3)
- 8(y + 6) = 16(x - 3)
- 8y - 48 = 16x - 48
- 8y = 16x - 48 + 48
- 8y = 16x
8y = - 16x
y = - 16/8x
y = - 2x
zad 2
W rozwiązaniu przyjęto , że przy "y" jest b
k : 3x + by + 1 = 0 , P = ( - 3 , 6 )
3 * (- 3) + 6b+ 1 = 0
- 9 + 6b + 1 = 0
6b = 9 - 1 = 8
b = 8/6 = 1 2/6 = 1 1/3
3x + 1 1/3y + 1 = 0
1 1/3y = - 3x - 1
4/3y = - 3x - 1 | * 3
4y = - 9x - 3
y = - 9/4x - 3/4
y = (- 2 1/4)x - 3/4
a₁ - współczynnik kierunkowy prostej = - 2 1/4
b₁ - wyraz wolny = - 3/4
a₁ = a₂ warunek równoległości prostych
Obliczamy równanie prostej równoległej i przechodzącej przez punkt P
y = a₂x + b₂ = (- 2 1/4)x + b₂ , P = ( - 3, 6 )
6 = - 2 1/4 * (- 3) + b₂
6 = 9/4 * 3 + b₂
6 = 27/4 + b₂
6 = 6 3/4 + b₂
b₂ = 6 - 6 3/4 = - 3/4
y = (- 2 1/4)x - 3/4
zad 3
y = (- 2 1/4)x - 3/4
a₁ = - 2 1/4
b₁ = - 3/4
a₁ * a₂ = - 1 warunek prostopadłości prostych
a₂ - współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej
a₂ = - 1 : a₁ = - 1 : (- 2 1/4) = 1 : 9/4 = 4/9
Obliczamy prostą prostopadła i przechodzącą przez punkt P
y = a₂x + b₂ = ( 4/9)x + b₂ , P = ( - 3 , 6 )
6 = 4/9 * ( - 3) + b₂
6 = - 4/3 + b₂
b₂ = 6 + 4/3 = 6 + 1 1/3 = 7 1/3
y = (4/9)x + 7 1/3
zad 4
A = ( - 2 , 4 ) , B = ( - 2 , - 3 ) , C = ( 4 , - 3 )
xa = - 2 , xb = - 2 , xc = 4 , ya = 4 , yb = - 3 , yc = - 3
IABI = √[(xb - xa)² + (yb - ya)²] = √[(- 2 + 2)² + ( - 3 - 4)²] = √[0² + (- 7)²] =
= √(- 7)² = √49 = 7
IACI = √[(xc - xa)² + (yc - ya)²] = √[(4 + 2)² + (- 3 - 4)²] = √[6² + (- 7)²] =
= √(36 + 49) = √85
IBCI = √[(xc - xb)² + (yc - yb)²] = √[(4 + 2)² + ( - 3 + 3)²] = √(6² + 0²) =
= √6² = 6
o - obwód trójkąta = IABI + IACI + IBCI = 7 + √85 + 6 = 13 + √85
zad 5
A = ( 1 , 5 ) , B = ( - 3 , - 1 )
xa = 1 , xb = - 3 , ya = 5 , yb = - 1
Obliczamy współrzędne punktu środkowego odcinka IABI
S = (xs , ys)
xs =(xa + xb)/2 = (1 - 3)/2=- 2/2 = - 1
ys =(ya + yb)/2 = ( 5 - 1)/2 = 4/2 = 2
S = ( - 1 , 2 )
Obliczamy prostą przechodzącą przez punkty A i B
(xb - xa)(y - ya) = (yb - ya)(x -xa)
(- 3 - 1)(y - 5) = ( - 1 - 5)(x - 1 )
- 4(y - 5) = - 6(x - 1)
- 4y + 20 = - 6x + 6
- 4y = - 6x + 6 - 20
- 4y = - 6x - 14
4y = 6x + 14
y = 6/4x + 14/4
y = 1 2/4x + 3 2/4
y = 1 1/2x + 3 1/2
y = 1,5x + 3,5
Symetralna jest prostopadła do prostej przechodzącej przez punkty A i B oraz przechodzi przez punkt środkowy S
y = 1,5x + 3,5
a₁ = 1,5
b₁ = 3,5
a₂ - współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej = - 1 : a₁ =
= - 1 : 1,5 = - 1 : 15/10 = - 1 * 10/15 = - 1 * 2/3 = - 2/3
y = a₂x + b₂ = - 2/3x + b₂ , S = ( - 1 , 2 )
2 = - 2/3 * (- 1) + b₂
2 = 2/3 + b₂
b₂ = 2 - 2/3 = 1 1/3
y = ( - 2/3)x + 1 1/3 równanie symetralnej
