[tex]\frac{3^{12}+5^{12} }{7^{12+9^{12} } } = \frac{((3^{4})^{3}+5^{12} }{(7^{4})^{3}+(9^{2})^{6}}\\\\\frac{(9^{2})^{3}+5^{12} }{(49^{2})^{3} +(9^{2})^{6} } = \frac{81^{3}+5^{12} }{(49^{2})^{3} +81^{6} }[/tex]
Licznik:
Dowolna potęga liczby 81 ma ostatnią cyfrę równą 1.
Dowolna potęga liczby 5 ma ostatnią cyfrę równą 5.
Czyli liczba [tex]3^{12} + 5^{12}[/tex] ma ostatnią cyfrę równą 6, a 6 jest podzielna przez 2.
Mianownik:
Ostatnią cyfrą [tex]49^{2}[/tex] jest 1, więc ostatnią cyfrą [tex](49^{2})^{3}[/tex] też wyjdzie 1.
Dowolna potęga liczby 81 ma ostatnią cyfrę 1.
Czyli liczba [tex]7^{12} + 9^{12}[/tex] ma ostatnią cyfrę równą 2, a 2 jest podzielne przez 2.
