Odpowiedź:
1 (całka potrójna po prostopadłościanie ). Niech
• P = {(x, y, z) : a ¬ x ¬ b, c ¬ y ¬ d, p ¬ z ¬ q}
- prostopadłościan w przestrzeni;
• P = {P1, P2, . . . , Pn} - podział prostopadłościanu P na prostopadłościany Pk, gdzie 1 ¬ k ¬ n;
• ∆xk, ∆yk, ∆zk - wymiary prostopadłościanu Pk, gdzie 1 ¬ k ¬ n;
• δ(P) = max{
q
(∆xk)
2 + (∆yk)
2 + (∆zk)
2
: 1 ¬ k ¬ n};
• Ξ = {(x
∗
1
, y∗
1
, z∗
1
),(x
∗
2
, y∗
2
, z∗
2
), . . . ,(x
∗
n
, y∗
n
, z∗
n
)}, gdzie (x
∗
k
, y∗
k
, z∗
k
) ∈ Pk
dla 1 ¬ k ¬ n - zbiór punktów pośrednich podziału P.
Niech funkcja f będzie ograniczona na prostopadłościanie P. Całkę potrójną z funkcji f po prostopadłościanie P definiujemy wzorem:
ZZZ
P
f(x, y, z) dx dy dz = lim
δ(P)→0
Xn
k=1
f(x
∗
k
, y∗
k
, z∗
k
)(∆xk)(∆yk)(∆zk),
o ile granica jest właściwa i nie zależy od sposobów podziału P prostopadłościanu P, ani od sposobów wyboru punktów pośrednich Ξ. Mówimy
wtedy, że funkcja f jest całkowalna na prostopadłościanie P.
Szczegółowe wyjaśnienie: