Łańcuszek zsuwa się ponieważ działa na niego siła ciężkości zwisającej części.
Załóżmy, że w chwili początkowej zwisa masa m zaś całkowita masa to M.
Możemy napisać dynamiczne równanie ruchu:
[tex]Ma(t=0)=mg\\a(t=0)=\frac{m}{M}g[/tex]
w miarę zsuwania masa m staje się większa o δm, zatem po czasie δt mamy
[tex]Ma(t=\delta t)=(m+\delta m)g\\a(t=\delta t)=\frac{m+\delta m}{M}g\\a(t=0)<a(t=\delta t)[/tex]
nie mamy tu zatem do czynienia z ruchem jednostajnie zmiennym, gdyż przyspieszenie rośnie (ponieważ rośnie wartości siły powodującej zsuwanie).
Można pokazać, że ruch ten dobrze opisuje się za pomocą długości l, która zwisa ze stołu, a ta z kolei jest ściśle związana z masą zwisającej części
[tex]M\ddot{l}=mg\\m=\rho S l\\\ddot{l}=\frac{1}{\rho S}\ddot{m}[/tex]
[tex]\rho=\frac{M}{SL}[/tex]
[tex]\frac{M}{\rho S}\ddot{m}=mg\\\ddot{m}=\frac{m}{L}g[/tex]
niech
[tex]\tau=\sqrt{\frac{L}{g}}\\m(t)=C_1e^{t/\tau}+C_2e^{-t\tau}[/tex]
z warunków początkowych
[tex]m(0)=m_0\\\dot{m}(0)=0\\C_1+C_2=m_0\\C_1-C_2=0\\C_1=m_0/2\\C_2=m_0/2\\m(t)=m_0\cosh{\left(t/\tau\right)}[/tex]
Widać stąd jasno, że masy rośnie jak cosinus hiperboliczny, zatem i przyspieszenie będzie proporcjonalne do cosh (oczywiście jest to limitowane długością łańcuszka)
pozdrawiam
