Odpowiedź
Suma ciągu arytmetycznego jest równa [tex]168[/tex].
[tex]{\displaystyle S_{n} \: = \: {\frac {2 \cdot a_{1}+(n-1) \cdot r}{2}} \cdot n}\\\\\\{\displaystyle S_{12} \: = \: {\frac {2 \cdot 3 + (12-1) \cdot 2}{2}} \cdot 12}\\\\\\S_{12} \: = \: ( 3 + (12 - 1) ) \cdot 12 \: = \: ( 3 + 11 ) \cdot 12 \: = \: 14 \cdot 12 \: = \: \boxed{ \:\: 168 \:\: }[/tex]
[tex]r \: = \: 2\\a_{1} \: = \: 3\\n \: = \: 12[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie
Sumę [tex]S_{n}[/tex] skończonego ciągu arytmetycznego można obliczyć z następującego wzoru
[tex]{\displaystyle S_{n} \: = \: a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n} \: = \: {\frac {a_{1}+a_{n}}{2}} \cdot n }[/tex]
Jeżeli uwzględnić, że [tex]a_n[/tex], czyli [tex]n[/tex]-ty wyraz ciągu arytmetycznego można wyrazić wzorem [tex]a_{1}+(n-1) \cdot r[/tex] , to powyższy wzór można zapisać jako
[tex]{\displaystyle S_{n} \: = \: a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n} \: = \: {\frac {a_{1}+a_{n}}{2}} \cdot n \: = \: {\frac {2 \cdot a_{1}+(n-1) \cdot r}{2}} \cdot n}[/tex]
I z tej drugiej postaci właśnie będę korzystała.
Z zadania wiemy, że [tex]a_2 = 5[/tex] oraz, że [tex]a_{10} = 21[/tex]. Korzystając ze wzoru na [tex]a_n[/tex] można obliczyć [tex]n[/tex] oraz różnicę [tex]r[/tex].
[tex]a_{1}+(n-1) \cdot r \: = \: a_n \:\:\:\:\ \wedge \:\:\:\:\ a_2 = 5 \:\: (n=2)\\a_{1} + (2-1) \cdot r \: = \: a_2 \: = \: 5\\\\\\a_{1}+(n-1) \cdot r \: = \: a_n \:\:\:\:\ \wedge \:\:\:\:\ a_{10} = 21 \:\: (n=10)\\a_{1} + (10-1) \cdot r \: = \: a_{10} \: = \: 21[/tex]
Mamy dwa równania z dwiema niewiadomymi
[tex]a_{1} + (2-1) \cdot r \: = \: 5\\\\a_{1} + (10-1) \cdot r \: = \: 21\\\\\\\\a_{1} + r \: = \: 5\\\\a_{1} + 9 \cdot r \: = \: 21\\\\\\8 \cdot r \: = \: 16\\a_{1} \: = \: 5 - r\\\\\\r \: = \: 2\\a_{1} \: = \: 5 - r = 5 -2 = 3\\\\\\r \: = \: 2\\a_{1} \: = \: 3[/tex]