Odpowiedź :
Odpowiedź
[tex]\displaystyle{ 2^{2004} \: - \: 2^{2000} = 2^{4 \, + \, 2000} \: - \: 2^{2000} = 2^4 \cdot 2^{2000} \: - \: 2^{2000} = }\\\\\displaystyle{ ( \, 2^{4} - 1 ) \cdot 2^{2000} = 15 \cdot 2^{4 \, + \, 1996} = 15 \cdot 2^4 \cdot 2^{1996} = }\\\\\displaystyle{ 15 \cdot 16 \cdot 2^{1996} = 240 \cdot 2^{1996} }[/tex]
- Twierdzenie do udowodnienia: [tex]\displaystyle{ 2^{4(n+1)} - 2^4 }[/tex] jest podzielne przez [tex]240[/tex] dla wszystkich [tex]\displaystyle{ n \in \mathbb{N} }[/tex].
Część pierwsza. Sprawdzenie dla [tex]n = 1[/tex].
[tex]n = 1 \:\: \Rightarrow \:\: 2^{4(n+1)} - 2^4 \: = \: 2^8 - 2^4 \: = \: 256 - 16 \: = \: 240[/tex]
Część druga. Sprawdzamy, czy zakładając, że twierdzenie jest prawdziwe dla dowolnie wybranego [tex]k \in \mathbb{N}[/tex], możemy pokazać prawdziwość twierdzenia dla [tex]k + 1[/tex].
Przyjmujemy, że [tex]n = k[/tex] oraz, że [tex]2^{4(k+1)} - 2^4[/tex] jest podzielne przez [tex]240[/tex].
Obliczenia dla [tex]n = k + 1[/tex] :
[tex]2^{4(k \, + \, 1 \, + \, 1)} - 2^4 \: = \: 2^{4(k \, + \, 1) \, + \, 4} - 2^4 \: = \: 2^4 \cdot 2^{4(k \, + \, 1)} - 2^4 \: =\\\\2^4 \cdot 2^{4(k \, + \, 1)} - 2^8 + 2^8 - 2^4 \: =\\\\2^4 \cdot 2^{4(k \, + \, 1)} - 2^4 \cdot 2^4 + ( 2^8 - 2^4 ) \: =\\\\2^4 \cdot ( 2^{4(k \, + \, 1)} - 2^4 ) + ( 256 - 16 ) \: =\\\\2^4 \cdot ( 2^{4(k \, + \, 1)} - 2^4 ) + 240[/tex]
Powyżej mamy [tex]2^4[/tex] pomnożone przez wyrażenie, które jest podzielne z założenia, że dla [tex]n = k[/tex] jest podzielność przez [tex]240[/tex] oraz
Szczegółowe wyjaśnienie
Podpunkt a) jest prosty, bo można wyliczyć.
Podpunkty b) oraz c) są udowodnione przy zastosowaniu zasady indukcji matematycznej. Aby odpowiedź była pełna, załączyłam jej treść poniżej.
Niech [tex]p_{n}[/tex] będzie stwierdzeniem zawierającym liczbę naturalną [tex]{\displaystyle n}[/tex]. Można dowieść stwierdzenia
dla każdego [tex]{\displaystyle n \in \mathbb{N}}[/tex] jest [tex]{\displaystyle p_{n},}[/tex]
jeśli wykaże się, że
- [tex]{\displaystyle p_{1}}[/tex] jest prawdziwe,
- dla wszystkich [tex]\displaystyle{ k \in \mathbb{N} }[/tex], jeśli [tex]{\displaystyle p_{k}}[/tex] jest prawdziwe, to [tex]{\displaystyle p_{k+1}}[/tex] jest prawdziwe.