Odpowiedź:
Obwód: 6(√2 + √6 +2)
Pole: 12 (√3 + 3)
Szczegółowe wyjaśnienie:
Z podanego "rozkładu" miar kątów wynika, że:
- kąt przy wierzchołku A ma 60 stopni
- kąt przy wierzchołku C ma 75 stopni
- kąt przy wierzchołku B ma 180-60-75 = 45 stopni
- trójkąt ABC jest trójkątem różnobocznym, czyli wysokość poprowadzona z górnego wierzchołka nie będzie dzieliła podstawy na połowy
Jeżeli teraz poprowadzisz wysokość z wierzchołka C na podstawę IABI, to:
- z "lewej" strony powstanie trójkąt prostokątny o kątach 90-60-30
- z "prawej" strony powstanie trójkąt prostokątny o kątach 90-45-45
- podstawa całego trójkąta ABC będzie sumą długości podstaw "lewego" i "prawego" trójkąta.
Do dalszych obliczeń wykorzystamy najpierw pewne stałe zależności między długościami boków i miarami kątów w trójkącie prostokątnym typu 90-60-30. Otóż, jeżeli kąt przy podstawie ma 60 stopni, to:
- przyprostokątna leżąca przy kącie 60 stopni jest dwa razy krótsza od przeciwprostokątnej
- przyprostokątna leżąca naprzeciwko kąta 6 stopni ma długość (a√3)/2, gdzie "a" jest długością przeciwprostokątnej.
Co to oznacza dla naszego zadania?
Spójrz: ACI jest w tym momencie przeciwprostokątną tego trójkąta i wiemy, że ma długość 4√6, zatem:
- przyprostokątna tego trójkąta przylegająca do kąta 60 stopni jest dwa razy krótsza od IACI, czyli ma długość (4√6)/2 = 2√6
- przyprostokątna leżąca naprzeciwko kąta 60 stopni (jednocześnie będąca wysokością całego trójkąta ABC) jest równa:
(4√6 razy √3)/2 = (4√18)/2 = 2√18 = 2√(9 razy 2) = 6√2
Teraz przechodzimy do "prawego" trójkąta 90-45-45
Ponieważ jest to trójkąt prostokątny równoramienny, więc obie przyprostokątne mają jednakową długość, równą h, czyli 6√2.
Z tw. Pitagorasa znajdujemy długość boku ICBI:
h² + h²= ICBI²
2h² = ICBI²
2 (6√2)² = ICBI²
2 razy 72 = ICBI²
144 = ICBI²
ICBI = 12
Podstawa całego trójkąta ABC ma więc długość 2√6 + 6√2
Mamy więc już wszystkie dane, by znaleźć obwód i pole trójkąta ABC:
- podstawa: 2√6 + 6√2
- wysokość 6√2
- "lewe" ramię 4√6
- "prawe" ramię 12
Obwód = 2√6 + 6√2 + 4√6 + 12 = 6√2 + 6√6 + 12 = 6 (√2+√6+2)
Pole = {(2√6 + 6√2) razy 6√2} / 2 = (12√12 + 72)/2 = {12 (√12 + 6)}/2 =
6 (√12 + 6) = 6 (2√3 + 6) = 12 (√3 + 3)
