Odpowiedź:
Najprostszym sprawdzeniem jest wstawienie ustalonych przez ciebie wartości x do wielomianu. Mamy
[tex]W(x)=3x^3-x^2+3x-1\\W(\frac{1}{3})=3\cdot(\frac{1}{3})^3-(\frac{1}{3})^2+3\cdot\frac{1}{3}-1\\\phantom{W(\frac{1}{3})}=3\cdot\frac{1}{27}-\frac{1}{9}+1-1\\\phantom{W(\frac{1}{3})}=\frac{1}{9}-\frac{1}{9}+1-1=0[/tex]
Zatem [tex]x=\frac{1}{3}[/tex] jest pierwiastkiem wielomianu W.
[tex]W(1)=3\cdot1^3-1^2+3\cdot1-1=3-1+3-1=6-2=4\neq0[/tex]
x = 1 nie jest pierwiastkiem tego wielomianu.
[tex]W(-1)=3\cdot(-1)^3-(-1)^2+3\cdot(-1)-1=-3-1-3-1=-8\neq0[/tex]
x = -1 również nie jest pierwiastkiem tego wielomianu.
Szczegółowe wyjaśnienie:
Kiedy wyznaczyliśmy jeden pierwiastek wielomianu, wykonujemy dzielenie: nasz wielomian dzielimy przez dwumian, który ma miejsce zerowe w wyznaczonym przez nas punkcie (zgodnie z twierdzeniem Bézouta). Mamy
[tex]\phantom{-}3x^3-x^2+3x-1=(x-\frac{1}{3})(3x^2+3)\\\underline{-3x^3+x^2\phantom{+3x-1..}}\\\phantom{-3x^3+x^2+\,\,\,}3x-1\\\underline{\phantom{-3x^3+x^2\,}-3x+1}\\\phantom{-3x^3+x^2-3x+\,\,\,}0[/tex]
Widzimy, że
[tex]W(x)=3x^3-x^2+3x-1=(x-\frac{1}{3})(3x^2+3)=(x-\frac{1}{3})\cdot3\cdot(x^2+1)\\\phantom{W(x)}=3(x-\frac{1}{3})\underbrace{(x^2+1)}_{>0}[/tex]
[Wyłączyłem 3 przed drugi nawias, a następnie uporządkowałem czynniki.]
Zaznaczony nawias jest zawsze większy od zera, niezależnie od x. To znaczy, że w naszym wielomianie jest to czynnik kwadratowy nierozkładalny.
Dla pewności możemy policzyć jego wartości dla x=1 i x=-1:
[tex]1^2+1=1+1=2\neq0\\(-1)^2+1=1+1=2\neq0[/tex]
Zatem postać [tex]W(x)=3(x-\frac{1}{3})(x^2+1)[/tex] jest najprostszą postacią, do jakiej możemy doprowadzić. Wielomian W ma jeden pierwiastek wymierny: [tex]x=\frac{1}{3}[/tex]
