Odpowiedź:
Wypiszmy posiadane informacje i wyciągnijmy wnioski.
f(x) - funkcja kwadratowa
[tex]f(x)=ax^2+bx+c[/tex]
Osią symetrii wykresu funkcji jest x=2. Oś symetrii przechodzi przez wierzchołek funkcji kwadratowej, zatem wiemy, że wierzchołek W ma pierwszą współrzędną x=2. Wiemy też, że wzór na współrzędne wierzchołka to [tex]W=\left(\frac{-b}{2a}, \frac{-\Delta}{4a}\right)[/tex]. Stąd
[tex]-\frac{b}{2a}=2[/tex]
c=5 oraz punkt A(3,8) należy do wykresu funkcji. Możemy od razu we wzorze funkcji zamienić c na 5, a także wstawić współrzędne punktu A za x i y w równaniu określającym tę funkcję. Mamy
[tex]y=ax^2+bx+5\\8=a\cdot3^2+b\cdot3+5[/tex]
To równanie łączymy w układ z uzyskanym wcześniej równaniem [tex]-\frac{b}{2a}=2[/tex]:
[tex]\left \{ {{-\frac{b}{2a}=2} \atop {8=9a+3b+5}} \right.[/tex]
Zajmijmy się pierwszym równaniem.
[tex]-\frac{b}{2a}=2 \iff -b = 4a \iff b = -4a[/tex]
Wstawmy tak obliczone b do drugiego równania:
[tex]8=9a+3\cdot(-4a)+5\\8=9a-12a+5\\8=-3a+5\\3a=-3\\a=-1[/tex]
Obliczamy b: [tex]b=-4a=-4\cdot(-1)=4[/tex]
Zatem funkcja ma postać:
[tex]f(x)=-x^2+4x+5[/tex]
