Odpowiedź:
Spójrzmy na fragment trójkąta Pascala w załączniku. Numerujemy wiersze od zera. Pomińmy wiersz "zerowy", spójrzmy na pierwszy. Mówi nam on, jak wygląda podniesienie dodawania do pierwszej potęgi:
[tex](a+b)^1=a^1b^0+a^0b^1=a+b[/tex]
W drugim wierszu znajdziemy wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy:
[tex](a+b)^2=1a^2b^0+2a^1b^1+1a^0b^2=a^2+2ab+b^2[/tex]
W trzeciej potędze mamy:
[tex](a+b)^3=1a^3b^0 + 3a^2b^1 + 3a^1b^2+1a^0b^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3[/tex]
[Opis działania:
Za każdym razem liczba z trójkąta Pascala wskazuje nam współczynnik przed kolejnym składnikiem dodawania, w każdym składniku mamy mnożenie: (współczynnik × [tex]a^{n}[/tex] × [tex]b^{m}[/tex]), przy czym suma potęg, do których podnosimy a i b zawsze musi wynosić tyle, ile numer wiersza oraz zaczynamy od najwyższej potęgi przy a, po czym schodzimy o 1 w każdym kroku, jednocześnie podnosząc o 1 potęgę przy b, aż dochodzimy do b w najwyższej potędze.]
Czwartą potęgę pomijamy. W piątej zatem, podążając tym samym wzorem, mamy
[tex](a+b)^5=1a^5b^0+5a^4b^1+10a^3b^2+10a^2b^3+5a^1b^4+1a^0b^5[/tex]
Po uporządkowaniu otrzymujemy wzór:
[tex](a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5[/tex]
Teraz wykorzystamy wyprowadzony wzór do wykonania potęgowania z zadania:
[tex](x-2)^5[/tex], gdzie, na potrzeby podstawiania do wzoru, [tex]a=x,\,b=(-2)[/tex]. Mamy
[tex](x-2)^5 = x^5 + 5x^4\cdot(-2) + 10x^3\cdot(-2)^2 + 10x^2\cdot(-2)^3 + 5x\cdot(-2)^4 + (-2)^5\\= x^5 - 10x^4 + 40x^3 - 80x^2 + 80x - 32[/tex]
