Rozwiązanie:
[tex]\frac{\sqrt{1-cos^{2}\alpha } }{1+cos\alpha } +\frac{1+\sqrt{1-sin^{2}\alpha } }{sin\alpha } =0\\\frac{\sqrt{sin^{2}\alpha } }{1+cos\alpha }+\frac{1+\sqrt{cos^{2}\alpha } }{sin\alpha } =0\\\frac{|sin\alpha |}{1+cos\alpha } +\frac{1+|cos\alpha |}{sin\alpha }=0\\[/tex]
Teraz skorzystamy z założenia, w podanym przedziale cosinus nie przyjmuje wartości [tex]-1[/tex], a sinus nie przyjmuje wartości [tex]0[/tex]. Dodatkowo obie funkcje przyjmują wartości ujemne, stąd:
[tex]\frac{-sin\alpha }{1+cos\alpha } +\frac{1-cos\alpha }{sin\alpha }=0[/tex]
Mianowniki nie zerują się, więc możemy obustronnie pomnożyć przez [tex](1+cos\alpha )sin\alpha[/tex] :
[tex]-sin\alpha *sin\alpha +(1-cos\alpha )(1+cos\alpha )=0\\-sin^{2}\alpha +1-cos^{2}\alpha =0\\1-(sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha )=0\\1-1=0\\0=0\\L=P[/tex]
co kończy dowód.
