Odpowiedź:
[tex]P=16\sqrt{7}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Niech [tex]a[/tex] i [tex]b[/tex] będą przyprostokątnymi i niech kąty [tex]\alpha[/tex], [tex]\beta[/tex] leżą na przeciwko boków [tex]a,b[/tex] odpowiednio. Wówczas:
[tex]sin\alpha =\frac{a}{c} =\frac{a}{16}[/tex]
Ponieważ suma kątów ostrych w trójkącie prostokątnym wynosi [tex]90[/tex]°, to:
[tex]sin\alpha *cos\beta =sin\alpha *cos(90-\alpha )=sin^{2}\alpha =\frac{1}{8}\\sin\alpha =\frac{1}{2\sqrt{2} } =\frac{\sqrt{2} }{4}[/tex]
Stąd:
[tex]\frac{a}{16}=\frac{\sqrt{2} }{4} \\a=\frac{16\sqrt{2} }{4}=4\sqrt{2}[/tex]
Z twierdzenia Pitagorasa:
[tex]a^{2}+b^{2}=c^{2}\\(4\sqrt{2})^{2}+b^{2}=16^{2}\\32+b^{2}=256\\b^{2}=224\\b=\sqrt{224}=4\sqrt{14}[/tex]
Obliczamy pole trójkąta:
[tex]P=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}*4\sqrt{2}*4\sqrt{14}=8\sqrt{28}=8*2\sqrt{7} =16\sqrt{7}[/tex]
