Szczegółowe wyjaśnienie:
a)
[tex]2^{16} +2^{15} +2^{12} =2^{12} *2^{4} +2^{12} *2^{3} +2^{12} =2^{12} *(2^{4} +2^{3} +1)=[/tex]
[tex]=2^{12} *(16+8+1)=2^{12} *25=2^{12} *5*5[/tex]
odp: Liczba jest podzielna przez 5, ponieważ jest iloczynem liczby 5
______________________________________________________
b)
[tex]8^{9} -4^{15} +2^{32} +16^{7} =(2^{3} )^{9} -(2^{2} )^{15} +2^{32} +(2^{4} )^{7} =2^{27} -2^{30} +2^{32} +2^{28} =[/tex]
[tex]=2^{27} -2^{27} *2^{3} +2^{27} *2^{5} +2^{27} *2^{1} =2^{27} *(1-2^{3} +2^{5} +2^{1} )=2^{27} *(1-8+32+2)=[/tex]
[tex]=2^{27} *27=2^{27} *9*3[/tex]
odp: Liczba jest podzielna przez 3, ponieważ jest iloczynem liczby 3
______________________________________________________
c)
[tex]3^{18} +6^{17} =3^{17} *3^{1} +(2*3)^{17} =3^{17} *3^{1} +2^{17} *3^{17} =3^{17} *(3+2^{17} )[/tex]
Odp:
Liczba [tex]3^{18} +6^{17}[/tex] jest podzielna przez 5, ponieważ ostatnią cyfrą jednego z jej czynników jest cyfra 5
Wyjaśnienie :
Liczba jest podzielna przez 5, gdy ostatnią jej cyfrą jest 0 lub 5
Jaka jest ostatnia cyfra liczby [tex](3+2^{17} )[/tex] ?
Zaczynamy od potęgowania:
[tex]2^{1} =2[/tex]
[tex]2^{2} =2*2=4[/tex]
[tex]2^{3} =4*2=8[/tex]
[tex]2^{4} =8*2=16[/tex]
[tex]2^{5} =16*2=32[/tex]
[tex]2^{6} =32*2=64[/tex]
[tex]2^{7} =64*2=128[/tex]
[tex]2^{8} =128*2=256[/tex]
Zauważamy że ostatnie cyfry zaczynają się w kółko powtarzać: 2, 4, 8, 6
Zatem ostatnią cyfrą liczby [tex]2^{17}[/tex] będzie 2 ponieważ:
17 ÷ 4 = 4 reszty 1
Zatem ostatnią cyfrą liczby [tex]3+2^{17}[/tex] jest 5, ponieważ:
3 + 2 = 5
Zatem udowodniliśmy, że liczba jest podzielna przez 5
