Odpowiedź :
Odpowiedź:
Szczegółowe wyjaśnienie:
Oznaczmy
r - promień podstawy stożka
l - długość tworzącej
R - promień kuli wpisanej w stożek (i promień okręgu wpisanego w trójkąt przekroju osiowego)
h - wysokość stożka (i wysokość trójkąta w przekroju osiowym)
Pole powierzchni kuli
[tex]S_k = 4 \pi R^2[/tex]
Pole powierzchni całkowitej stożka to
[tex]S_s = \pi r(r+l)[/tex]
Tak więc
[tex]3 S_k = S_s\\3*4 \pi R^2 = \pi r (r+l)\\R^2 = \frac{r(r+l)}{12}[/tex]
Z przekroju osiowego (trójkąta równoramiennego wynika że)
[tex]h^2 + r^2 = l^2\\h^2 = l^2 - r^2[/tex]
Pole trójkąta możemy obliczyć na podstawie wysokości
[tex]S = \frac{2r*h}{2}[/tex]
lub na postawie promienia okręgu wpisanego
[tex]S = \frac{(2r + 2l)R}{2}[/tex]
Porównując
[tex]\frac{(2r + 2l)R}{2} = \frac{2r*h}{2}[/tex]
[tex](r+l)R = r*h\\(r+l)^2R^2 = r^2h^2[/tex]
[tex](r+l)^2\frac{r(r+l)}{12} = r^2(l^2 - r^2)\\[/tex]
[tex](r+l)^2 (r+l) = 12 r(l -r)(l+r)[/tex]
[tex](r+l)^2 = 12r(l - r)[/tex]
Podzielmy obustronnie przez l²
[tex](\frac{r}{l} + 1)^2 = 12\frac{r}{l}(1 - \frac{r}{l})[/tex]
wartość [tex]\frac{r}{l}[/tex] jest naszym szukanym cos kąta nachylenia tworzącej stożka.
Oznaczmy go przez x
[tex](x +1)^2 = 12x(1-x)\\[/tex]
[tex]x^2 +2x + 1 = 12x - 12x^2\\13x^2 -10x + 1 =0\\\Delta = 100 -4*13 = 100 - 52 = 48\\\sqrt{\Delta}} = 4\sqrt{3}\\[/tex]
[tex]x_1 = \frac{10 + 4\sqrt{3}}{26} = \frac{5+2\sqrt{3}}{13}\\x_2 =\frac{10 - 4\sqrt{3}}{26} = \frac{5-2\sqrt{3}}{13}\\[/tex]
cosinus kąta może więc wynosić
[tex]cos(\alpha_1) = \frac{5-2\sqrt{3}}{13}\\lub\\cos(\alpha_2) =\frac{5+2\sqrt{3}}{13}\\[/tex]