Rozwiązanie:
[tex]log_{2x-1}(x^{2}+3x-3)=2[/tex]
Najpierw wyznaczamy dziedzinę logarytmu:
[tex]D: 2x-1>0 \wedge 2x-1\neq 1 \wedge x^{2}+3x-3>0\\x>\frac{1}{2} \wedge x\neq 1 \wedge \Delta=9-4*1*(-3)=21\\x_{1}=\frac{-3-\sqrt{21} }{2}\\x_{2}=\frac{-3+\sqrt{21} }{2} \\x \in (-\infty,\frac{-3-\sqrt{21} }{2}) \cup (\frac{-3+\sqrt{21} }{2} ,\infty)[/tex]
Zatem ostatecznie dziedziną równania jest przedział:
[tex]x \in (\frac{-3+\sqrt{21} }{2},1) \cup (1,\infty)[/tex]
Przechodzimy do rozwiązywania równania:
[tex]log_{2x-1}(x^{2}+3x-3)=2\\log_{2x-1}(x^{2}+3x-3)=log_{2x-1}(2x-1)^{2}\\x^{2}+3x-3=(2x-1)^{2}\\x^{2}+3x-3=4x^{2}-4x+1\\3x^{2}-7x+4=0\\\Delta=49-4*3*4=1\\x_{1}=\frac{7-1}{6} =1\\x_{2}=\frac{7+1}{6}=\frac{4}{3}[/tex]
Pierwsze rozwiązanie nie należy do dziedziny - odrzucamy je. Rozwiązaniem jest:
[tex]x=\frac{4}{3}[/tex]
