Odpowiedź:
Przekątną kwadratu wyznaczamy ze wzoru:
[tex]d=a\sqrt2[/tex], gdzie [tex]a[/tex] to długość boku kwadratu.
Jednocześnie mamy informację, że bok kwadratu jest o 10 krótszy od przekątnej, [tex]a=d-10\iff d=a+10[/tex]. Mamy
[tex]\left \{ {{d=a\sqrt{2}} \atop {d=a+10}} \right.[/tex]
[tex]a\sqrt2 = a+10\\a\sqrt2 - a = 10\\a(\sqrt2-1)=10\\a=\frac{10}{\sqrt{2}-1}[/tex]
Usuwamy niewymierność z mianownika, mnożąc mianownik i licznik przez sprzężenie tego, co w mianowniku, czyli przez [tex](\sqrt2+1)[/tex]:
[tex]a=\frac{10(\sqrt2+1)}{(\sqrt2-1)(\sqrt2+1)}[/tex]
W mianowniku widzimy wzór redukcyjny [tex](a^2-b^2=(a-b)(a+b))[/tex]. Mamy dalej
[tex]a=\frac{10(\sqrt2+1)}{(\sqrt2)^2-1^2}=\frac{10(\sqrt2+1)}{1}=10\sqrt2+10[/tex]
Szukamy długości przekątnej, zatem kończymy, obliczając
[tex]d=a+10=10\sqrt2+10+10=10\sqrt2+20[/tex]
