Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego przed-
stawionego na rysunku obok.
![Oblicz Objętość Graniastosłupa Prawidłowego Przedstawionego Na Rysunku Obok class=](https://pl-static.z-dn.net/files/d38/d10387ccbce6085a58a8fc5e1d7f6b79.jpg)
Odpowiedź:
Objętość graniastosłupa obliczamy ze wzoru
[tex]V=P_p \cdot H[/tex], gdzie [tex]P_p[/tex] to pole podstawy, a [tex]H[/tex] to wysokość graniastosłupa.
Oznaczmy krawędź podstawy jako [tex]a[/tex]. Graniastosłup jest prawidłowy, to znaczy, że w jego podstawie jest wielokąt foremny - tutaj sześciokąt foremny, tzn. mający wszystkie boki równe.
Zwróćmy teraz uwagę na trójkąt pogrubiony na dodanym przez ciebie rysunku. Ma zaznaczony kąt [tex]30^{\circ}[/tex], a także kąt prosty (kąt między podstawą a wysokością graniastosłupa). Stąd wynika, że trzeci kąt (ten na górze) ma miarę [tex]180^{\circ}-30^{\circ}-90^{\circ}=60^{\circ}[/tex]. Zatem jest to trójkąt charakterystyczny ([tex]30^{\circ}, 60^{\circ}, 90^{\circ}[/tex] - połowa trójkąta równobocznego). Mamy wzory na obliczenie długości wszystkich jego boków, jeżeli znamy jeden z nich. Bok "w pionie" to wysokość graniastosłupa - [tex]H[/tex], a bok "w poziomie", to przekątna sześcianu o długości [tex]2a[/tex] (patrz - mój rysunek). Stąd
[tex]H = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4[/tex]
[tex]2a=\frac{8\sqrt{3}}{2}=4\sqrt3 \Rightarrow a=2\sqrt3[/tex]
Mamy wysokość graniastosłupa, obliczmy pole podstawy.
[tex]P_p = 6\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 6 \cdot \frac{(2\sqrt{3})^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = 6 \cdot \frac{4 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} = 18\sqrt3[/tex]
Podstawiamy do wzoru na objętość:
[tex]V=P_p \cdot H = 18\sqrt3 \cdot 4 = 72\sqrt3[/tex]
(Na dodanym przeze mnie rysunku jest podstawa graniastosłupa z oznaczeniami.)