Odpowiedź:
Szukamy cosinusa kąta, który na rysunku zaznaczyłem jako [tex]\alpha[/tex]. Odcinek AG to przekątna sześcianu, a AC to przekątna podstawy. Oznaczmy, że długość krawędzi naszego sześcianu wynosi x. Oznacza to, że [tex]|CG|=x[/tex]. Spójrzmy teraz na trójkąt ACG. Mamy w nim pożądany kąt [tex]\alpha[/tex] (przy wierzchołku G), a także kąt prosty przy wierzchołku C. W trójkącie prostokątnym, cosinus kąta [tex]\alpha[/tex] to stosunek długości przyprostokątnej przy kącie [tex]\alpha[/tex] do przeciwprostokątnej, czyli
[tex]\cos\alpha=\frac{|CG|}{|AG|}[/tex].
Wiemy już, że [tex]|CG|=x[/tex]. Obliczmy teraz długość drugiej przyprostokątnej, AC.
Jest to przekątna kwadratu ABCD, którego boki mają długość x, zatem [tex]|AC|=x\sqrt2[/tex].
Teraz wykorzystamy twierdzenie Pitagorasa do obliczenia długości przeciwprostokątnej AG.
[tex]|AG|^2=|AC|^2+|CG|^2\\|AG|^2=(x\sqrt2)^2+x^2\\|AG|^2=2x^2+x^2\\|AG|^2=3x^2[/tex]
Pierwiastkujemy obustronnie (żeby pozbyć się kwadratu) i otrzymujemy
[tex]|AG|=\sqrt3\cdot x=x\sqrt3[/tex]
Teraz podstawiamy wartości do ustalonego wcześniej wzoru na [tex]\cos\alpha[/tex]:
[tex]\cos\alpha = \frac{|CG|}{|AG|} = \frac{x}{x\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex]
(w ostatnim kroku usunęliśmy niewymierność z mianownika, mnożąc licznik i mianownik przez [tex]\sqrt3[/tex])
Zatem odpowiedź to D. [tex]\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex]
