[tex](m^2-1)x^2+2(m-1)x+2>0[/tex]
Nierówność kwadratowa jest spełniona zawsze w następujących przypadkach
[tex]f(x) >0\ zawsze\ gdy:\\ a>0\ \ \land\ \ \Delta<0\\\\f(x) < 0\ zawsze\ gdy:\\ a <0\ \ \land\ \ \Delta<0[/tex]
( co jest zobrazowane na załączniku pierwszym - niebieska parabola ma a<0 i Δ<0 ⇒ f(x) jest zawsze <0, czerwona parabola ma a>0 i Δ<0 ⇒ f(x) jest zawsze >0 )
Jako, że chcemy obliczyć [tex]\Delta_m[/tex] (ponieważ w zadaniu jest "dla jakich parametrów x) musimy wymnożyć nawiasy:
[tex]x^2m^2-x^2+2xm-2x+2>0\\x^2m^2 +2xm + (-x^2-2x+2)>0[/tex]
[tex]a = x^2,\ \ \ b=2x,\ \ \ c=-x^2-2x+2[/tex]
[tex]f(x)>0\ gdy\ x^2>0\ \ i\ \ \Delta<0[/tex]
[tex]\Delta=(2x)^2-4x^2(-x^2-2x+2)<0\\\Delta = 4x^2+4x^4+8x^3-8x^2<0\\\Delta = 4x^4+8x^3-4x^2<0\\\Delta = 4x^2(x^2+2x-1)<0[/tex]
[tex]x=0 _{/odrzucamy} \ \lor x^2+2x-1<0\\\Delta_x=4+4=8\\\sqrt\Delta_x=2\sqrt2\\x_1=\frac{-2-2\sqrt2}{2}=-1-\sqrt2\\x_2=\frac{-2+\sqrt2}{2}=-1+\sqrt2[/tex]
Szkicujemy wykres ( w załączniku drugim )
Na podstawie wykresu wnioskujemy, że x∈(-1-√2; 0) ∪ (0; -1+√2)
Jeżeli x = 0 to nie ma funkcji kwadratowej tylko liniowa ( ponieważ parametr a = x² ). Ale i tak trzeba podstawić 0 i sprawdzić wynik po podstawieniu (możliwe, że powstanie funkcja liniowa >0 lub układ nieoznaczony).
f(0) = 0m² + 0m - 0 - 0 + 2 > 0
2 > 0 → zawsze prawda
Dlatego 0 będzie należeć do odpowiedzi
ODPOWIEDŹ: x∈( -1-√2; -1+√2 )
