Rozwiązanie:
Rysunek w załączniku.
Na początek obliczamy współrzędne punktów [tex]A[/tex] i [tex]B[/tex], czyli znajdujemy punkty wspólne prostej i paraboli:
[tex]x+5=2x^{2}+3x+1\\2x^{2}+2x-4=0\\x^{2}+x-2=0\\\Delta=1-4*1*(-2)=9\\x_{1}=\frac{-1+3}{2} =1\\x_{2}=\frac{-1-3}{2}=-2[/tex]
[tex]y_{1}=x_{1}+5=6\\y_{2}=x_{2}+5=3[/tex]
Przyjmijmy, że [tex]A=(-2,3)[/tex] i [tex]B=(1,6)[/tex]. Teraz znajdziemy współrzędne punktu [tex]C[/tex]. W tym celu musimy znaleźć styczne do paraboli w wyznaczonych wyżej punktach.
Obliczamy pochodną funkcji:
[tex]f'(x)=4x+3[/tex]
Dla punktu [tex]A[/tex]:
[tex]A=(x_{0},f(x_{0}))=(-2,3)\\x_{0}=-2\\f(x_{0})=3\\f'(x_{0})=f'(-2)=4*(-2)+3=-5\\y=f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})=-5(x+2)+3=-5x-7[/tex]
Dla punktu [tex]B[/tex]:
[tex]B=(x_{0},f(x_{0}))=(1,6)\\x_{0}=1\\f(x_{0})=6\\f'(x_{0})=f'(1)=4*1+3=7\\y=f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})=7(x-1)+6=7x-1[/tex]
Mamy już styczne, zatem możemy wyznaczyć współrzędne punktu [tex]C[/tex]. Jest to punkt przecięcia się stycznych:
[tex]-5x-7=7x-1\\12x=-6\\x=-\frac{1}{2}\\y=7*(-\frac{1}{2})-1=-\frac{9}{2}[/tex]
Zatem [tex]C=(-\frac{1}{2},-\frac{9}{2})[/tex].
Obliczamy pole trójkąta (ze wzoru na pole trójkąta o zadanych wierzchołkach):
[tex]P=\frac{1}{2}|(1+2)(-\frac{9}{2}-3)-(6-3)(-\frac{1}{2}+2) | =\frac{1}{2}|3*(-\frac{15}{2})-3*\frac{3}{2} | =\frac{1}{2}|-\frac{45}{2}-\frac{9}{2} |=\frac{1}{2}*27=13,5[/tex]
