Mistrzyni1viz
Rozwiązane

Dana jest funkcja [tex]f(x) = x^{3}+4[/tex]. Rozwiąż równanie [tex]f'(x) = f(x)[/tex].

Proszę o rozwiązanie zadania z dokładnym wytłumaczeniem.
Daje NAJ <3

Odpowiedź :

Louie314viz

Rozwiązanie:

[tex]f(x)=x^{3}+4[/tex]

Obliczamy pochodną, korzystając z zależności:

[tex](x^{n})'=nx^{n-1}[/tex]

Zatem:

[tex]f'(x)=3x^{2}[/tex]

Równanie ma postać:

[tex]f'(x)=f(x)\\x^{3}+4=3x^{2}\\x^{3}-3x^{2}+4=0\\W(-1)=-1-3+4=0[/tex]

Po podzieleniu tego wielomianu przez dwumian [tex](x+1)[/tex] (np. schematem Hornera) otrzymamy:

[tex](x+1)(x^{2}-4x+4)=0\\(x+1)(x-2)^{2}=0\\x=-1 \vee x=2[/tex]

Odpowiedź:

x ∈ {-1; 2}

Szczegółowe wyjaśnienie:

f'(x) = f(x)

3x² = x³ + 4

x³ - 3x² + 4 = 0

x₁ = 2; (x-2)

# 1 -3 0 4

2 1 -1  -2 0     (schemat Hornera)

(x-2)(x²-x-2) = 0

x²- x - 2 = 0

Δ = 1 + 8 = 9 => √Δ = 3

x₂ = (1 - 3) / 2 = -1

x₃ = (1 + 3) / 2 = 2

x ∈ {-1; 2}

Viz Inne Pytanie