Rozwiązanie:
a)
Skoro [tex]|BE|=x[/tex], to [tex]|CE|=2-x[/tex]. Ponadto [tex]|AB|=|AD|=2[/tex]. Oznaczamy długość odcinka [tex]|DF|[/tex] jako [tex]y[/tex]. Wówczas [tex]|FC|=2-y[/tex].
Na początek skorzystamy z tego, że: [tex]|AF|=|EF|[/tex]. Z twierdzenia Pitagorasa w trójkątach prostokątnych [tex]ADF[/tex] i [tex]ECF[/tex] mamy:
[tex]2^{2}+y^{2}=(2-y)^{2}+(2-x)^{2}\\4+y^2=4-4y+y^{2}+(x-2)^{2}\\4y=(x-2)^{2}\\y=\frac{(x-2)^{2}}{4}[/tex]
Teraz wyrazimy pole trójkąta za pomocą zmiennej [tex]x[/tex]. Jest to różnica pól kwadratu i trzech mniejszych trójkątów prostokątnych:
[tex]P=4-\frac{1}{2}*2*\frac{(x-2)^{2}}{4} -\frac{1}{2} *(2-\frac{(x-2)^{2}}{4} )*(2-x)-\frac{1}{2}*2*x=4- \frac{(x-2)^{2}}{4} -\frac{1}{2}(4-2x-\frac{(x-2)^{2}}{2} +\frac{x(x-2)^{2}}{4} )-x=4-\frac{(x-2)^{2}}{4} -2+x+\frac{(x-2)^{2}}{4} -\frac{(x-2)^{2}}{8}-x=2-\frac{(x-2)^{2}}{8} = 2-\frac{1}{8}x(x-2)^{2}=P(x)[/tex]
Pozostało wyznaczyć dziedzinę funkcji pola. Z warunków geometrycznych zadania wynika, że:
[tex]x\geq 0 \wedge 2-x\geq 0\\x\geq 0 \wedge x\leq 2\\D:x \in <0,2>[/tex]
co kończy dowód.
b)
Pole trójkąta będzie najmniejsze (największe), jeżeli funkcja [tex]P(x)[/tex] będzie przyjmowała wartość najmniejszą (największą). Obliczamy jej pochodną:
[tex]P'(x)=-\frac{1}{8}*(x(x-2)^{2})'=-\frac{1}{8}((x-2)^{2}+2(x-2)*x)=-\frac{1}{8}(x^{2}-4x+4+2x^{2}-4x)=-\frac{1}{8}(3x^{2}-8x+4)=-\frac{3}{8}x^{2}+x-\frac{1}{2}[/tex]
(zastosowano wzór na pochodną funkcji złożonej, można oczywiście to zwyczajnie przemnożyć i obliczyć pochodną uzyskanego wielomianu)
Teraz obliczamy miejsca zerowe pochodnej:
[tex]P'(x)=0 \iff -\frac{3}{8}x^{2}+x-\frac{1}{2}=0\\-3x^{2}+8x-4=0\\\Delta=64-4*(-3)*(-4)=16\\x_{1}=\frac{-8-4}{-6} =2\\x_{2}=\frac{-8+4}{-6} =\frac{2}{3}[/tex]
Szkicujemy symboliczny wykres pochodnej (załącznik) i odczytujemy:
[tex]P'(x)>0 \ dla \ x \in (\frac{2}{3} ,2)\\P'(x) =0 \ dla \ x=\frac{2}{3} \vee x=2\\P'(x)<0 \ dla \ x=(0,\frac{2}{3})[/tex]
Stąd wynika, że:
[tex]P(x)[/tex] rośnie dla [tex]x \in <\frac{2}{3},2>[/tex]
[tex]P(x)[/tex] maleje dla [tex]x \in <0,\frac{2}{3}>[/tex]
To oznacza, że funkcja [tex]P[/tex] przyjmuje minimum lokalne dla [tex]x=\frac{2}{3}[/tex] i maksimum lokalne dla [tex]x=2[/tex].
Obliczamy wartość minimum (pole najmniejszego trójkąta):
[tex]P(\frac{2}{3})=2-\frac{1}{8}*\frac{2}{3}*(\frac{2}{3}-2)^{2}=2- \frac{1}{12} *\frac{16}{9}=2-\frac{4}{27} =\frac{50}{27}\\[/tex]
Obliczamy wartość maksimum (pole największego trójkąta):
[tex]P(2)=2-\frac{1}{8}*2*(2-2)^{2}=2[/tex]
